হাসব্রুক ইনফরমেশন শেয়ার: বাজারজুড়ে প্রাইস ডিসকভারি পরিমাপ

একই সিকিউরিটি একাধিক ভেন্যুতে লেনদেন হতে পারে, অথবা ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ইন্সট্রুমেন্ট একই অন্তর্নিহিত মূল্য প্রতিফলিত করতে পারে। প্রতিটি মুহূর্তে দেখা দাম এক হতে হবে এমন নয়। একটি ভেন্যুর কোট আগে নড়তে পারে, আরেকটি পরে সাড়া দিতে পারে, তারপর দুই দাম একই দীর্ঘমেয়াদি পথে স্থিত হতে পারে। নতুন তথ্য কীভাবে সেই অভিন্ন স্থায়ী উপাদানে যুক্ত হয়, প্রাইস ডিসকভারি তা নিয়ে কাজ করে; এটি ট্রেডিং ভলিউম, প্রদর্শিত লিকুইডিটি বা সর্বশেষ লেনদেন কোন ভেন্যুতে হয়েছে—এসব থেকে আলাদা।

এই প্রশ্নের জন্যই হাসব্রুক ইনফরমেশন শেয়ার তৈরি। তার কাঠামোতে সম্পর্কিত বাজারদর একটি অদৃশ্য দক্ষ দামে অংশ নেয়, আর পর্যবেক্ষিত দামে সাময়িক বিচ্যুতিও থাকতে পারে। কোনো বাজারের শেয়ার হলো অভিন্ন দক্ষ-মূল্য উদ্ভাবনের variance-এ তার উদ্ভাবনের আনুপাতিক অবদান (Hasbrouck, 1995)। ফল নির্ভর করে নির্দিষ্ট সিস্টেম, নমুনা ও পর্যবেক্ষণ নকশার ওপর। এটি কে আগে তথ্য পেয়েছে তা শনাক্ত করে না, কারণগত চ্যানেল প্রমাণ করে না, কিংবা কোনো ভেন্যু প্রতিটি ঘটনায় নেতৃত্ব দেয় দেখায় না।

কোনো ভেন্যুর ভলিউম বেশি বা স্প্রেড কম হলেও এই পার্থক্য গুরুত্বপূর্ণ। এসব বৈশিষ্ট্যের সঙ্গে প্রাইস ডিসকভারির সম্পর্ক থাকতে পারে, কিন্তু ইনফরমেশন শেয়ার মডেলভিত্তিক অভিন্ন দীর্ঘমেয়াদি দামের পরিবর্তনে অবদান মাপে। একটি ভেন্যুতে লেনদেন বেশি হতে পারে, অথচ অন্য ভেন্যু দীর্ঘমেয়াদি অভিন্ন দাম সরানো উদ্ভাবনের বড় অংশ দিতে পারে।

ধরা যাক \(p_t\) হলো একই সম্পদ বা অর্থনৈতিকভাবে সমতুল্য দাবির লেনদেন করা \(d\) ভেন্যুর পর্যবেক্ষিত দামের ভেক্টর। বাজার-মাইক্রোস্ট্রাকচারের সাধারণ কাঠামোতে প্রতিটি মূল্যস্তর অ-স্টেশনারি, প্রায়ই \(I(1)\), আর দীর্ঘমেয়াদি arbitrage দামের ব্যবধানকে স্টেশনারি রাখে। দুই ভেন্যু ও একটি অভিন্ন trend থাকলে একটি cointegrating relation থাকে, সাধারণত normalized price difference। আরও সাধারণভাবে, একটি অভিন্ন stochastic trend-সহ \(d\) সম্পর্কিত দামের cointegration rank হয় \(d-1\)।

এটি পরীক্ষা করার মতো empirical assumption; দুই স্ক্রিনে একই ticker দেখা গেলেই এটি সত্য হয়ে যায় না। চুক্তির শর্ত, মুদ্রা, funding, dividend, delivery বা স্থায়ী basis-এর কারণে দাম আলাদা হতে পারে। ভেন্যু স্থানান্তর, fee পরিবর্তন, market-structure সংস্কার বা data definition বদলালেও সম্পর্ক পাল্টাতে পারে। নির্বাচিত নমুনায় সিরিজগুলো অনুমিত দীর্ঘমেয়াদি সম্পর্ক ভাগ না করলে, efficient-price decomposition ও তার share-গুলোর প্রত্যাশিত অর্থ থাকে না।

Cointegration ও error correction দীর্ঘমেয়াদি সম্পর্ককে স্বল্পমেয়াদি মূল্য-পরিবর্তনের মডেলের সঙ্গে যুক্ত করে (Engle and Granger, 1987)। VECM এই কাঠামো স্পষ্ট করে: অভিন্ন দামের আশেপাশে সাময়িক adjustment এবং দীর্ঘমেয়াদি উপাদানে প্রভাব ফেলতে পারে এমন innovation-কে আলাদা করে।

<!-- learn:illustration --> <!-- লেখা-বিহীন ধারণা: দুটি ভেন্যুর মূল্যপথ একটি অভিন্ন, মসৃণ দীর্ঘমেয়াদি পথের চারপাশে ওঠানামা করে; প্রতিটি ভেন্যুতে সাময়িক বিচ্যুতি আছে। প্রকৃত বাজার-তথ্য, কারণগত চিত্র বা পূর্বাভাস নয়। -->

\(d\)টি মূল্য-সিরিজের VECM লেখা যায়:

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

\(\beta\) cointegrating relation বিস্তার করে, \(\alpha\) adjustment loading ধারণ করে, \(\Gamma_j\) স্বল্পমেয়াদি lag dynamics মাপে, আর \(\varepsilon_t\) হলো reduced-form innovation vector; এর covariance matrix \(\Omega\)। একটি common efficient price-এর ক্ষেত্রে innovation-এর দীর্ঘমেয়াদি প্রভাব row vector \(\psi\) দিয়ে সংক্ষেপ করা যায়। স্থায়ী দামের পরিবর্তন

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

মডেলের normalization ও deterministic term অনুযায়ী। এই পরিবর্তনের variance

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

ফিট করা সিস্টেমের long-run representation থেকে \(\psi\) আসে; এটি শুধু adjustment coefficient \(\alpha\) বা cointegrating vector \(\beta\) নয়। স্বল্পমেয়াদি মূল্য-পরিবর্তন বড় হলেও সাময়িক হতে পারে, আর ছোট innovation-ও স্থায়ী উপাদানে টিকে থাকলে price discovery-তে বেশি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে।

অভিন্ন trend ও তার normalization জানানো দরকার। efficient-price representation-কে কোনো ধ্রুবক দিয়ে গুণ করলে \(\psi\)-এর একক এবং common-price variance বদলায়, যদিও normalized information share অপরিবর্তিত থাকে। সিস্টেমে একাধিক common stochastic trend থাকলে একটি scalar efficient price যথেষ্ট নয়; কোন permanent component বা linear combination বিশ্লেষণ করা হচ্ছে তা নির্দিষ্ট করতে হবে।

ভেন্যুগুলোর innovation পরস্পর সম্পর্কহীন হলে \(\Omega\) diagonal হয়। তখন প্রতিটি বাজারের contribution সরাসরি আলাদা করা যায়:

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

সূত্রটি বাজারের long-run impact-কে তার নিজস্ব innovation variance দিয়ে weight করে। কোনো দামের innovation-এর স্থায়ী প্রভাব বেশি বা innovation variance বেশি হলে ভেন্যু বড় share পেতে পারে। VECM adjustment coefficient-এর absolute size তুলনা করাই যথেষ্ট নয়।

সমসাময়িকভাবে innovation সম্পর্কিত হলে মোট variance-এ covariance term-ও থাকে। শুধু \(\Omega\) থেকে shared term-গুলো ভেন্যুতে অনন্যভাবে ভাগ করার উপায় নেই। হাসব্রুক \(\Omega=FF^{\mathsf T}\) Cholesky factorization ব্যবহার করে orthogonal innovation তৈরি করেন। নির্দিষ্ট variable order-এ orthogonal shock \(i\)-এর share:

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

Factorization shock-গুলোকে orthogonal করে, কিন্তু এর triangular structure-এ order-এর আগের variable shared contemporaneous variation শোষণে অগ্রাধিকার পায়। এই order decomposition-এর allocation convention, অর্থনৈতিক তথ্য-ক্রমের প্রমাণ নয়।

একই sampling interval-এ দাম আপডেট হওয়ার কারণে দুই ভেন্যুর innovation খুব সম্পর্কিত হলে কোন বাজারের innovation আগে এসেছে তা data দিয়ে পরিষ্কারভাবে আলাদা করা যায় না। কোন ভেন্যু আগে রাখা হয়েছে তার ওপর Cholesky decomposition shared move আলাদাভাবে বরাদ্দ করে। Hasbrouck-এর পদ্ধতিতে কোনো বাজারকে শেষে রেখে lower bound, প্রথমে রেখে upper bound বের করা হয়, প্রাসঙ্গিক order-গুলোর ওপর।

একটি সুবিধাজনক একক order বেছে নেওয়ার চেয়ে এই bounds বেশি সৎ প্রশ্নের উত্তর দেয়: correlated innovation-এর গ্রহণযোগ্য recursive allocation-এ বাজারের share কতটা বদলাতে পারে? সংকীর্ণ bounds মানে এই নমুনায় ordering effect সীমিত। প্রশস্ত bounds মানে সমসাময়িক price innovation বাজার-ভিত্তিক ভাগটিকে দুর্বলভাবে শনাক্ত করে। midpoint কখনো সারাংশ হিসেবে দেখানো হয়, কিন্তু সেটি uniquely identified estimate নয়; bounds বা ঘোষিত ordering-কে সরিয়ে দেওয়া উচিত নয়।

একটি ভেন্যু আগে update করলে বেশি frequency-তে sampling কিছু apparent contemporaneous correlation কমাতে পারে, কিন্তু correlation শূন্য হবে তার নিশ্চয়তা নেই। coarse sampling update-এর ক্রম আড়াল করে; অতিরিক্ত fine sampling stale observation ও asynchronous quote সমস্যা তৈরি করতে পারে। sampling rule ও ordering sensitivity দুটোই জানাতে হবে।

শুধু ব্যাখ্যার জন্য ধরুন, দুই-বাজারের fitted VECM থেকে normalized permanent-price impact vector \(\psi=(0.6,0.4)\) পাওয়া গেছে। Reduced-form innovation covariance matrix:

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

Innovation-এর variance একক এবং correlation 0.8। স্থায়ী-মূল্য innovation-এর মোট variance:

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

Market A-কে আগে রাখুন। Lower-triangular Cholesky factor:

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

এর ফলে A-এর share \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\), B-এর \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\)। Order উল্টে B-কে আগে রাখলে একই হিসাব B-কে প্রায় 85.7% এবং A-কে 14.3% দেয়। তাই ordering-based bounds হলো A-এর জন্য প্রায় 14.3%–93.6%, এবং B-এর জন্য 6.4%–85.7%। প্রতিটি ordering-এ share-গুলো 100% হয়; বিভিন্ন বাজারের আলাদা lower বা upper bound যোগ করে 100% হওয়ার কথা নয়।

এখানের প্রতিটি মান কাল্পনিক: VECM impact vector, unit innovation variance ও 0.8 correlation কেবল পুনরায় হিসাব করা যায় এমন উদাহরণের জন্য বেছে নেওয়া। এগুলো কোনো exchange, asset বা sample-এর ফল নয়। correlated innovation কীভাবে আপাতদৃষ্টিতে নির্ভুল market ranking-কে Cholesky order-এর ওপর নির্ভরশীল করতে পারে, তা দেখানোই উদ্দেশ্য।

Gonzalo–Granger decomposition পর্যবেক্ষিত দামের normalized linear combination হিসেবে permanent component তৈরি করে। Adjustment matrix \(\alpha\)-যুক্ত VECM-এ common-factor weight \(\alpha\)-এর orthogonal complement-এ থাকে: weight vector \(w\)-এর জন্য \(\alpha^{\mathsf T}w=0\), এবং যেমন weights-এর যোগফল এক—এমন normalization থাকে। ফলের common factor দীর্ঘমেয়াদে error-correction term-এ সাড়া দেয় না। Gonzalo ও Granger cointegrated system-এর permanent–transitory decomposition তৈরি করেন (Gonzalo and Granger, 1995)।

Component weight বর্ণনা করে ভেন্যুর দাম দিয়ে অভিন্ন price level কীভাবে গঠিত হয়। Hasbrouck information share-এ মাপা হয় প্রতিটি ভেন্যু common permanent-price innovation-এর variance-এ কতটা অবদান রাখে। দুটি মাপ ঘনিষ্ঠ হতে পারে, কিন্তু information share প্রতিটি ভেন্যুর innovation variance-ও বিবেচনা করে। innovation uncorrelated হলে মাপগুলো কেন কাছাকাছি, আর correlated বা ভিন্ন variance হলে কেন আলাদা হতে পারে, তা de Jong এবং Baillie, Booth, Tse ও Zabotina বিশ্লেষণ করেছেন (de Jong, 200200028-9); Baillie et al., 200200027-7))।

উপরের কাল্পনিক \(\psi\) ও \(\Omega\) input থেকে Gonzalo–Granger component weight নির্ধারিত হয় না; এগুলো VECM-এর adjustment matrix \(\alpha\) এবং ঘোষিত normalization-এর ওপর নির্ভর করে। শুধু variance-decomposition-এর input দিয়ে কোনো সংখ্যাগত component weight পাওয়া যায় না। এই পার্থক্যটি মূল কথা: component weight observed price থেকে permanent price তৈরি করে, আর Hasbrouck information share তার innovation-এর variance decomposes করে।

Price series-গুলো তুলনাযোগ্য দাবি বর্ণনা করবে এবং যুক্তিসঙ্গত clock-এ align হবে। observation trade price, midpoint নাকি অন্য quote measure—তা জানান; locked বা crossed quote, stale price, auction, market close ও out-of-sequence message কীভাবে সামলেছেন এবং নমুনায় দুই ভেন্যুই খোলা ছিল কি না তা বলুন। Futures-এর contract roll ও delivery difference নথিভুক্ত করুন। Cross-listed instrument-এর ক্ষেত্রে VECM-এর আগে currency, corporate action ও unit align করুন।

Asynchronous observation গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। একটি ভেন্যু 10:00:00.100-এ আর অন্যটি 10:00:00.700-এ update করলে, এক-সেকেন্ডের sampling grid ধারাবাহিক response-কে একই সময়ে ঘটেছে বলে দেখাতে পারে; আরও coarse grid তা আরও ঝাপসা করে। খুব fine grid-এ stale price carry-forward হলে কৃত্রিম lead–lag pattern দেখা দিতে পারে। sampling frequency, synchronization rule, quote filter ও যুক্তিসঙ্গত বিকল্পের sensitivity জানান। ছোট interval aggregation-induced correlation কমাতে পারে, কিন্তু common shock, simultaneous update বা timestamp error দূর করে না।

Share lag order, deterministic term, sample endpoint ও structural stability-র ওপরও নির্ভরশীল। খুব কম lag রাখলে VECM innovation-এ serial dependence থেকে যেতে পারে; বেশি lag estimation noise বাড়াতে পারে। ভেন্যুর নিয়ম বা trading hour বদলালে adjustment process পাল্টাতে পারে। residual diagnostic ও uncertainty estimate ব্যবহার করুন; full VECM এবং share bounds আবার estimate করে এমন bootstrap বিবেচনা করুন। এক specification-এ শর্তাধীন ছোট standard error data ও model choice-এর অনিশ্চয়তা ধারণ করে না।

নির্দিষ্ট VECM ও orthogonalization-এ মডেলকৃত প্রতিটি ভেন্যুর innovation estimated permanent-price variance-এ কী অবদান রাখে, information share তা মাপে। বেশি share প্রমাণ করে না যে ওই ভেন্যুই খবর তৈরি করেছে, প্রতিটি ঘটনায় আগে নড়ে, বা পরের return পূর্বাভাস দেয়। common information প্রায় একই সময়ে ভেন্যুগুলোতে পৌঁছাতে পারে; market friction ও observation timing measured share-কে প্রভাবিত করে।

এটি market quality-র সরাসরি মাপও নয়। কোনো ভেন্যু common price-এ অবদান রাখলেও তার spread চওড়া, displayed depth কম বা execution cost বেশি হতে পারে। বিপরীতে, কোনো ভেন্যু কম খরচে liquidity দিতে পারে, কিন্তু নির্বাচিত নমুনায় permanent-price innovation-এ তার অবদান কম হতে পারে। Roll spread estimator return autocovariance থেকে অন্য মাপ অনুমান করে; order-flow imbalance long-run innovation variance নয়, displayed queue-র পরিবর্তন সারাংশ করে।

কোনো trading claim-এর জন্য আগে থেকে নির্ধারিত, chronological out-of-sample strategy test-এ fee, bid–ask spread, latency, slippage, market impact ও venue access ধরতে হবে। Engle–Granger guide এক-equation cointegration alternative বোঝায়; Johansen rank guide system cointegration rank নিয়ে। Cointegration বা উচ্চ information share কোনোটিই profitable rule প্রমাণ করে না।