Johansen Cointegration Test: Rank, Trace ও Maximum-Eigenvalue

ধরা যাক, \(y_t\)-তে \(k\)টি variable আছে এবং নির্দিষ্ট data-generating setup-এ প্রতিটি \(I(1)\) হিসেবে বিবেচিত। Cointegration rank \(r\) হলো তাদের level-এর linear combination-এর মধ্যে পরস্পর স্বাধীন stationary সম্পর্কের সংখ্যা। \(r=0\) হলে সেই specification-এ এমন combination পাওয়া যায়নি। \(0<r<k\) হলে \(r\)টি স্বাধীন long-run relation আছে এবং প্রচলিত \(I(1)\) system condition-এ \(k-r\)টি common stochastic trend থাকে। rank 1 মানে পুরো system জুড়ে একটি relation; এটি যে স্পষ্ট কোনো একটি asset pair-ই হবে, তা নয়।

এটি system-level প্রশ্ন। দুই ধাপের Engle–Granger পদ্ধতিতে একটি normalized long-run equation estimate করে তার fitted residual পরীক্ষা করা হয়। Johansen-এর likelihood পদ্ধতি vector autoregression-এর cointegrating space-এর dimension estimate ও test করে, তাই একাধিক স্বাধীন relation-ও উপস্থাপন করতে পারে। দুটি পদ্ধতি সম্পর্কিত কিন্তু আলাদা প্রশ্নের উত্তর দেয়; finite sample বা lag ও deterministic specification বদলালে ফল ভিন্ন হতে পারে।

এখানে deterministic term বাদ দিয়ে, level VAR-কে সরলীকৃত vector error-correction form-এ লেখা যায়:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

এখানে \(p\) হলো level VAR-এর lag order। \(\beta\)-এর column long-run combination বর্ণনা করে, আর \(\alpha\)-তে adjustment loading থাকে, যা আগের disequilibrium-কে বর্তমান পরিবর্তনের সঙ্গে যুক্ত করে। \(\Pi\)-এর rank \(r\) হলে একে \(k\times r\) মাত্রার \(\alpha\) ও \(\beta\) matrix-এ factor করা যায়। system-এ error-correction term কতটি থাকবে, তা variable-এর সংখ্যা একা নয়, matrix-এর rank নির্ধারণ করে।

সব \(k\)টি series সত্যিই \(I(1)\) হলে প্রচলিত cointegrated case-এ \(r<k\)। full-rank ফল মানে fitted specification-এ অনুমোদিত deterministic term-এর চারপাশে level-গুলো stationary হতে পারে; তাই শুরুতে ধরা integration order আবার যাচাই করুন। rank zero প্রমাণ করে না যে variable-গুলোর কোনো ধরনের সম্পর্কই নেই। এর অর্থ নির্বাচিত model পরীক্ষিত rank-এ stationary level combination খুঁজে পায়নি।

অনুমিত eigenvalue-গুলোকে \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\) ক্রমে সাজান। এগুলো likelihood পদ্ধতির reduced-rank problem থেকে আসে; সাধারণ variance-explained percentage নয়। candidate rank \(r\)-এর জন্য trace statistic হলো:

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

এটি \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) বনাম \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\) পরীক্ষা করে এবং অবশিষ্ট eigenvalue-গুলোর প্রমাণ একত্র করে। maximum-eigenvalue statistic হলো:

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

এটি rank \(r\)-কে পরের rank \(r+1\)-এর সঙ্গে তুলনা করে। অর্থাৎ trace test জিজ্ঞেস করে মোট relation \(r\)-এর বেশি কি না, আর maximum-eigenvalue test জিজ্ঞেস করে পরের relation যোগ করার পক্ষে তথ্য আছে কি না। rank null-এর জন্য কোনো test-ই সাধারণ chi-square reference distribution ব্যবহার করে না।

তিনটি variable, ২০০টি ব্যবহারযোগ্য observation, এবং সাজানো eigenvalue \(0.16\), \(0.05\), \(0.01\)—এমন একটি system কল্পনা করুন। এগুলো ব্যাখ্যার জন্য বানানো মান, market estimate নয়। \(r=0\) হলে trace statistic তিনটি term যোগ করে প্রায় \(47.14\), আর maximum-eigenvalue statistic শুধু প্রথমটি নিয়ে প্রায় \(34.87\)। \(r=1\) হলে মান দুটি প্রায় \(12.27\) ও \(10.26\); \(r=2\) হলে দুটিই শেষ eigenvalue ব্যবহার করে প্রায় \(2.01\) হয়।

এই হিসাব test statistic দেয়, rank-এর সিদ্ধান্ত নয়। সিদ্ধান্ত নিতে নির্দিষ্ট deterministic case ও test sequence-এর উপযোগী critical value বা p-value-এর সঙ্গে তুলনা করুন। যেমন, software table-এ “\(r=0\) reject” মানে table-এর assumptions ও নির্বাচিত significance level-এর অধীনে rank zero-এর বিরুদ্ধে evidence আছে; কোনো নির্দিষ্ট asset spread stationary হওয়ার সরাসরি probability নয়। p-value cutoff-এর ওপরে হলে ওই rank null reject করা যায়নি—এতে null সত্য প্রমাণ হয় না।

rank ব্যাখ্যার আগে যুক্তিসঙ্গত VAR lag order বেছে নিন। level VAR-এর order \(p\) হলে VECM-এ \(p-1\)টি lagged difference থাকে। lag খুব কম হলে residual-এ serial correlation থেকে যেতে পারে; বেশি হলে degrees of freedom কমে finite-sample inference অস্থিতিশীল হতে পারে। Information criterion candidate সাজাতে সাহায্য করতে পারে, তবে residual diagnostics, sample size ও অর্থনৈতিক timing-ও গুরুত্বপূর্ণ। কীভাবে order বেছে নিয়েছেন জানান এবং যুক্তিসঙ্গত বিকল্প পরীক্ষা করুন।

intercept ও trend cointegrating relation-এর বাইরে থাকবে, relation-এর ভেতরে সীমাবদ্ধ থাকবে, নাকি maintained model-এ থাকবে না—তা ঠিক করুন। এতে long-run behavior ও rank-test distribution বদলে যায়। সবচেয়ে অনুকূল p-value খুঁজে specification বাছবেন না; প্রশ্ন ও data অনুযায়ী নির্বাচন করুন। নির্দিষ্ট deterministic case, variable-এর সংখ্যা ও implementation-এর সঙ্গে মেলে এমন critical value নিন। Johansen rank statistic-এর distribution nonstandard। MacKinnon, Haug ও Michelis নির্দিষ্ট Johansen-type likelihood-ratio test-এর response-surface distribution গণনা করেছেন; এর মধ্যে exogenous \(I(1)\) variable অনুমোদনকারী extension-ও আছে। এই মান সব rank-test setup-এ ব্যবহার করা যায় না।

Deterministic term কোথায় বসে, তা software-এর cosmetic option নয়। প্রচলিত parameterization-এ cointegrating relation-এর ভেতরে সীমাবদ্ধ constant equilibrium combination-কে nonzero mean নিতে দেয়; relation-এর বাইরে unrestricted constant level-এ অন্য ধরনের deterministic drift অনুমোদন করতে পারে। Trend restriction-ও model যে long-run path ধরে, তা বদলায়। শুধু “constant included” লিখলে যথেষ্ট নয়; constant-এর অবস্থান এবং প্রতিটি restriction জানান।

মূল estimate হলো cointegrating space। rank-one model-এ \(\beta\) vector-কে যেকোনো nonzero constant দিয়ে গুণ করলেও কোন level combination stationary, তা বদলায় না। তাই analyst একটি normalization বেছে নেন, যেমন একটি coefficient-কে 1 করা। rank বেশি হলে একই space তৈরি করতে একাধিক basis সম্ভব; software-এ দেখানো vector-গুলো স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনন্য অর্থনৈতিক সম্পর্ক নয়। নির্দিষ্ট vector ব্যাখ্যা করতে restriction বা অতিরিক্ত theory দরকার, এবং normalization জানাতে হবে।

adjustment matrix \(\alpha\) দেখায় fitted system-এ disequilibrium-এর প্রতিক্রিয়ায় কোন variable বদলায়। এর sign নির্বাচিত normalization-এর ওপর নির্ভরশীল; প্রতিটি entry system-এর শর্তাধীন coefficient, আলাদা causal effect নয়। ছোট বা শূন্য loading weak-exogeneity hypothesis-এর ইঙ্গিত দিতে পারে, কিন্তু উপসংহারের জন্য maintained model-এর অধীনে সংশ্লিষ্ট formal restriction test দরকার। শুধু cointegration rank থেকে কোন variable “lead” করে, কোন relation অর্থনৈতিকভাবে অর্থপূর্ণ, বা shock ভবিষ্যৎ price-এ কী প্রভাব ফেলবে—তা জানা যায় না।

এই nonuniqueness শুধু display-এর বিষয় নয়, matrix factorization-এর বৈশিষ্ট্য। Nonsingular \(H\)-এর জন্য \(\beta H\) এবং \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) একই long-run matrix \(\Pi\) দেয়। তাই estimated space identified হলেও প্রদর্শিত আলাদা vector-গুলো unique নাও হতে পারে। কোনো vector-কে tradable spread হিসেবে বেছে নিতে স্পষ্ট normalization বা economic restriction দরকার; unit ও risk আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করতে হবে।

সাধারণত candidate rank শূন্য থেকে ক্রমানুসারে test করা হয় এবং প্রথম যে null reject হয় না, সেখানে থামা হয়। নির্বাচিত rank হলো নির্বাচিত significance level ও specification-এর অধীনে একটি model choice। trace ও maximum-eigenvalue ফল ভিন্ন হলে মতভেদ লুকাবেন না; lag length, deterministic term, দুর্বল test power, structural break ও sample sensitivity পরীক্ষা করে দুই ফলই জানান।

Likelihood-ratio critical value nonstandard এবং system specification-এর ওপর নির্ভরশীল। unit root-এর কাছাকাছি আচরণ, ছোট sample, outlier, regime shift, \(I(2)\) variable বা exogenous integrated regressor থাকলে সরল \(I(1)\) setup অনুপযুক্ত হতে পারে। সাধারণ rank table এসব case স্বয়ংক্রিয়ভাবে সামলায় না। Johansen-এর মূল কাজ Gaussian VAR assumption-এর অধীনে likelihood inference গড়ে তোলে; পরবর্তী response-surface calculation নির্দিষ্ট test setup-এর reference distribution দেয়, সব ধরনের data problem-এর নয়।

যেমন, trace test \(r=0\) এবং \(r=1\) reject করলেও \(r=2\) reject না করলে প্রচলিত sequential procedure ওই specification ও significance level-এ rank 2 বেছে নেয়। এর মানে rank সত্যিই 2 হওয়ার probability 1 নয়। Maximum-eigenvalue test পাশাপাশি থাকা rank null তুলনা করে, তাই তার সিদ্ধান্তও দেখান। এক test-এর critical value অন্য test statistic-এ ব্যবহার করবেন না।

নির্বাচিত rank sample period-এর ওপরও নির্ভর করে। Economic relation, market structure বা variable definition বদলালে sample-এর শুরুর ও শেষের অংশের estimate আলাদা হতে পারে। Sensitivity analysis অস্থিতিশীলতা দেখাতে পারে, কিন্তু বহু endpoint খুঁজলে আরেকটি multiple-testing সমস্যা তৈরি হয়। কোন window আগে থেকে স্থির করেছিলেন তা জানান; পরে খুঁজে নেওয়া split-কে exploratory evidence হিসেবে দেখুন।

Trading study-তে estimated \(\beta\) vector spread নির্ধারণের একটি candidate হতে পারে, কিন্তু rank থেকে entry ও exit level, position size বা expected return পাওয়া যায় না। একাধিক cointegrating vector থাকলে একটি combination বেছে নিতে normalization, constraint ও data selection লাগে। Statistical relation অনুমিত হলেও weight short position, leverage বা কম liquidity বোঝাতে পারে।

প্রতিটি decision date-এ যে তথ্য পাওয়া যেত শুধু তা দিয়ে system estimate করুন এবং selection ও re-estimation-সহ পুরো প্রক্রিয়াটি chronologicalভাবে যাচাই করুন। sample-এর বাইরে relation স্থিতিশীল কি না দেখুন; প্রাসঙ্গিক হলে dividend, contract roll, currency conversion, financing, borrow availability, bid–ask spread, market impact ও execution timing ধরুন। কোনো rank null reject হওয়া নির্দিষ্ট model-এর প্রমাণ, profitability claim নয়। Engle–Granger test ও error correction এক-equation বিকল্পটি ব্যাখ্যা করে; পেয়ার ট্রেডিংয়ে cointegration বনাম correlation দেখায় correlation আলাদা বৈশিষ্ট্য।

\(k\)টি variable, transformation, observation frequency, sample date ও integration-order evidence লিখুন। level VAR lag order, deterministic term-এর অবস্থান, effective sample size, trace ও maximum-eigenvalue statistic, মেলা critical value বা p-value, significance level এবং sequential rank decision জানান। দুই test-এর ফল এক ছিল কি না, পরের ধাপে কোন rank ব্যবহার করেছেন এবং sensitivity check-এ ফল বদলেছে কি না উল্লেখ করুন।

vector দেখালে normalization, restriction ও সংশ্লিষ্ট adjustment loading দিন। Trading application-এ প্রতিটি rebalance-এর সময় পাওয়া data, vector-selection rule, out-of-sample design, cost ও failure handling প্রকাশ করুন। Johansen-এর ১৯৮৮ সালের cointegration-vector বিশ্লেষণ90041-3) cointegrating space ও rank-এর likelihood পদ্ধতি গড়ে তোলে। তাঁর ১৯৯১ সালের Gaussian VAR আলোচনা rank inference ও vector নিয়ে hypothesis পরীক্ষা করে। MacKinnon, Haug ও Michelis cointegration likelihood-ratio test-এর response-surface distribution দিয়েছেন। সম্পর্কিত নির্দেশিকায় আছে stationarity ও unit root।