Eigenvalues, Eigenvectors, এবং Financial Risk factors
নমুনা ত্রুটি থেকে eigenvalues, eigenvectors, covariance eigendecomposition, ঝুঁকি ঘনত্ব, কার্যকর মাত্রা এবং অস্থিরতা বুঝুন।
সরাসরি উত্তর
একটি eigenvector হল একটি রৈখিক রূপান্তর দ্বারা সংরক্ষিত একটি দিক, এবং এর eigenvalue হল সেই দিক বরাবর প্রয়োগ করা স্কেল। রিটার্ন কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য, eigenvectors যৌথ আন্দোলনের দিক নির্দেশ করে এবং তাদের eigenvalues সেই দিকগুলির সাথে বৈচিত্র্য পরিমাপ করে। যদি কয়েকটি বড় ইজেনভ্যালুতে মোটের বেশির ভাগ থাকে তবে একটি পোর্টফোলিওতে অনেকগুলি হোল্ডিং থাকতে পারে যখন এর ঝুঁকি কয়েকটি সাধারণ অক্ষে কেন্দ্রীভূত থাকে। অনুরূপ eigenvalues এর সাথে যুক্ত Eigenvectors নমুনার প্রতি অত্যন্ত সংবেদনশীল হতে পারে, তাই বিশ্লেষকদের উচিত পৃথক অক্ষের নামকরণের পরিবর্তে সাবস্পেস, ব্যাখ্যাকৃত বৈচিত্র্য এবং নমুনার বাইরের স্থিতিশীলতা মূল্যায়ন করা।
কিছু দিকনির্দেশ একটি রূপান্তর থেকে বেঁচে থাকে
একটি ম্যাট্রিক্স সাধারণত একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং দিক উভয়ই পরিবর্তন করে। একটি eigenvector হল একটি বিশেষ দিক যা পরবর্তীতে একই লাইনে থাকে।
এর eigenvalue সেই দিকটি কতটা স্কেল করা হয়েছে তা বলে। একটি নেতিবাচক মানও স্থিতিবিন্যাসকে বিপরীত করে, যদিও কোভেরিয়েন্স ইজেন ভ্যালু নেতিবাচক হতে পারে না।
একটি eigenvector এর দৈর্ঘ্য নির্বিচারে হয়, তাই এটি সাধারণত একটিতে স্বাভাবিক করা হয়। ভেক্টর এবং এর ঋণাত্মক একই অক্ষের প্রতিনিধিত্ব করে।
একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স যৌথ আন্দোলন সঞ্চয় করে
তির্যক এন্ট্রিগুলি হল স্বতন্ত্র সম্পদের বৈচিত্র্য, যখন অফ-তির্যক এন্ট্রিগুলি হল সহ-আন্দোলনকে বর্ণনা করে সহ-পরিবর্তন।
একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স প্রতিসম এবং ধনাত্মক সেমিডেফিনিট, তাই এটি বাস্তব ইজেনভ্যালু এবং ইজেনভেক্টরের একটি অর্থগোনাল সেট স্বীকার করে।
নমুনা কোভেরিয়েন্স পর্যবেক্ষণ থেকে অনুমান করা হয়। এর eigenvalues এবং eigenvectors তাই স্থির তথ্য না হয়ে স্যাম্পলিং ত্রুটি বহন করে।
একটি eigenvalue হল একটি দিক বরাবর প্রকরণ
প্রজেক্ট একটি ইউনিট কোভেরিয়েন্স ইজেনভেক্টরে ফিরে আসে এবং সেই প্রজেক্টেড রিটার্নের নমুনা ভ্যারিয়েন্স সংশ্লিষ্ট eigenvalue-এর সমান।
সমস্ত eigenvalues এর সমষ্টি ম্যাট্রিক্স ট্রেসের সমান, যা পৃথক পরিবর্তনশীল বৈচিত্রের সমষ্টিও।
একটি eigenvalue কে মোট দিয়ে ভাগ করলে এর ব্যাখ্যাকৃত-ব্যবধান ভাগ পাওয়া যায়। র্যাঙ্কিং মানগুলি আকার অনুসারে লাগানো ঝুঁকির দিকনির্দেশকে আদেশ করে।
অর্থোগোনাল পচন ঝুঁকি পুনর্নির্মাণ করে
বর্ণালী পচন তাদের eigenvalues দ্বারা ওজন করা eigenvector দিকনির্দেশের সমষ্টি হিসাবে কোভেরিয়েন্স প্রকাশ করে।
যেহেতু এই অক্ষগুলি অসংলগ্ন, তাই পোর্টফোলিওর ভিন্নতা প্রতিটি বর্গাকার অক্ষের এক্সপোজারে অক্ষ ইজেনভ্যালু দ্বারা গুণিত করে আলাদা করে।
এটি স্থানাঙ্কের পরিবর্তন। অসংলগ্ন লাগানো অক্ষগুলি প্রতিষ্ঠিত করে না যে অন্তর্নিহিত অর্থনৈতিক ধাক্কাগুলি স্বাধীন।
কাছাকাছি eigenvalueগুলি দিকনির্দেশকে অস্থির করে তোলে
যখন eigenvalues কাছাকাছি থাকে, তখন একটি ছোট ডেটা পরিবর্তন তাদের সংশ্লিষ্ট eigenvectorsকে যথেষ্ট পরিমাণে ঘোরাতে পারে।
eigenvalues ঠিক সমান হলে, তাদের ভাগ করা সাবস্পেসের মধ্যে যেকোন অর্থোগোনাল ভিত্তি একই কোভ্যারিয়েন্স দেয়। স্বতন্ত্র ভেক্টর অনন্য নয়।
সাইন অ্যালাইনমেন্ট, ভেক্টর অ্যাঙ্গেল, সাবস্পেস দূরত্ব, এবং বুটস্ট্র্যাপ ফলাফল শুধুমাত্র ভিজ্যুয়াল তুলনার চেয়ে ভাল স্থিতিশীলতা পরীক্ষা প্রদান করে।
বড় eigenvalues ঝুঁকির ঘনত্ব প্রকাশ করে
একটি প্রভাবশালী প্রথম eigenvalue মানে অনেক সম্পদ একটি শক্তিশালী দিক ভাগ করে, তাই কার্যকর বৈচিত্র্য নামমাত্র হোল্ডিং গণনাকে পিছনে ফেলতে পারে।
কার্যকরী মাত্রা সংক্ষিপ্ত করে যে ভ্যারিয়েন্সটি ইজেন ভ্যালু জুড়ে সমানভাবে ছড়িয়ে পড়ে। একই সম্পদ গণনা সহ পোর্টফোলিওর খুব ভিন্ন মাত্রা থাকতে পারে।
পারস্পরিক সম্পর্ক স্ট্রেস বৃদ্ধি এবং নেতৃস্থানীয় শেয়ার প্রসারিত হতে পারে. একটি শান্ত-সময়ের সহভক্তি অনুমান সংকট বৈচিত্র্যকে বাড়াবাড়ি করতে পারে।
PCA কে ফ্যাক্টর রিস্কের সাথে সাবধানে সংযুক্ত করুন
পিসিএ লোডিং হল কোভেরিয়েন্স বা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের ইজেনভেক্টর, এবং ব্যাখ্যা করা প্রকরণটি সংশ্লিষ্ট ইজেনভ্যালু থেকে আসে।
কয়েকটি বড় ইজেনভ্যালু সেই কারণগুলির অর্থনৈতিক উত্স সনাক্ত না করেই একটি আনুমানিক পরিসংখ্যানগত ফ্যাক্টর গঠনকে সমর্থন করতে পারে।
ফ্যাক্টর মডেল সাধারণ গঠন এবং অবশিষ্টাংশ নির্দিষ্ট করে; eigendecomposition covariance জ্যামিতি বর্ণনা করে। তাদের ব্যবহার ওভারল্যাপ, কিন্তু অনুমান ভিন্ন।
অনুমান এবং অনিশ্চয়তা প্রকাশ করুন
রিটার্নের সংজ্ঞা, ফ্রিকোয়েন্সি, উইন্ডো, অনুপস্থিত মান, আউটলিয়ার, স্কেলিং পছন্দ, এবং সহভক্তি অনুমানকারী রিপোর্ট করুন।
প্রমাণ সমর্থনের চেয়ে বেশি পরিচয় বরাদ্দ না করে সম্পূর্ণ eigenvalue বর্ণালী, ক্রমবর্ধমান শেয়ার, অগ্রণী ভেক্টর, এবং সাইন-এলাইনমেন্ট নিয়ম দেখান।
ঘূর্ণায়মান জানালা, সঙ্কুচিত কোভেরিয়েন্স এবং নমুনা বহির্ভূত ঝুঁকির পূর্বাভাস তুলনা করুন। একটি খাস্তা স্পেকট্রাম চার্ট অনুমান ত্রুটি অপসারণ করে না।
সাধারণ প্রশ্ন
কেন কোভ্যারিয়েন্স ইজেন ভ্যালু নেতিবাচক?
কোনো পোর্টফোলিওর দিক থেকে ভেরিয়েন্স নেতিবাচক হতে পারে না, যা একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে পজিটিভ সেমিডেফিনিট করে।
সবচেয়ে বড় ইজেনভেক্টর কি সবসময় মার্কেট ফ্যাক্টর?
এটি একটির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ হতে পারে, কিন্তু সেই পরিচয়টির জন্য কম্পোজিশন, নমুনা ডিজাইন এবং একটি বাহ্যিক বাজারের রিটার্নের বিরুদ্ধে বৈধতা প্রয়োজন৷
কিভাবে একটি eigenvector এর চিহ্ন ব্যাখ্যা করা উচিত?
ভেক্টর এবং এর ঋণাত্মক একই অক্ষকে সংজ্ঞায়িত করে। তুলনা করার আগে একটি রেফারেন্স সম্পদ বা পূর্ববর্তী উইন্ডোতে চিহ্নগুলি সারিবদ্ধ করুন।
একটি ছোট-eigenvalue দিক কি অপ্রাসঙ্গিক?
অগত্যা নয়। সামান্য সমসাময়িক ভিন্নতা থাকা সত্ত্বেও হেজ সীমাবদ্ধতা, আপেক্ষিক-মূল্য সম্পর্ক বা ভবিষ্যদ্বাণীর জন্য এটি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে।