Hasbrouck Information Share: Preisfindung über Märkte hinweg messen

Dasselbe Wertpapier kann an mehreren Handelsplätzen gehandelt werden; eng verbundene Instrumente können denselben zugrunde liegenden Wert abbilden. Ihre beobachteten Preise müssen nicht jederzeit übereinstimmen. Ein Kurs kann an einem Handelsplatz zuerst reagieren, ein anderer folgt, und später nähern sich beide einem gemeinsamen langfristigen Pfad. Bei der Preisfindung geht es darum, wie neue Informationen in diese gemeinsame permanente Komponente eingehen. Sie ist etwas anderes als Handelsvolumen, angezeigte Liquidität oder der Handelsplatz des letzten Geschäfts.

Für genau diese Frage wurde der Hasbrouck Information Share entwickelt. Im zugrunde liegenden Rahmen haben verbundene Marktpreise einen impliziten, nicht beobachtbaren effizienten Preis; zugleich können die beobachteten Preise vorübergehende Abweichungen enthalten. Der Anteil eines Marktes ist sein proportionaler Beitrag zur Varianz der Innovation des gemeinsamen effizienten Preises (Hasbrouck, 1995). Die Schätzung hängt vom festgelegten System, der Stichprobe und dem Beobachtungsdesign ab. Sie zeigt weder, wer Informationen zuerst erhielt, noch einen Kausalpfad oder eine Führung bei jedem Ereignis.

Das ist wichtig, wenn ein Handelsplatz mehr Volumen oder engere Geld-Brief-Spannen aufweist. Solche Merkmale können mit Preisfindung zusammenhängen; der Information Share misst jedoch einen modellbasierten Beitrag zu Veränderungen des gemeinsamen langfristigen Preises. Ein Handelsplatz kann viel Volumen haben, während ein anderer mehr von den Innovationen beisteuert, die den gemeinsamen Preis bewegen.

Sei \(p_t\) der Vektor der beobachteten Preise an \(d\) Handelsplätzen, die dasselbe Asset oder wirtschaftlich gleichwertige Ansprüche handeln. Der übliche mikrostrukturelle Ansatz behandelt das Preisniveau als nicht stationär, häufig \(I(1)\), während langfristige Arbitrage die Preisdifferenzen stationär hält. Bei zwei Handelsplätzen und einem gemeinsamen Trend gibt es eine Kointegrationsbeziehung, häufig eine normalisierte Preisdifferenz. Allgemeiner hat ein System aus \(d\) verbundenen Preisen mit einem gemeinsamen stochastischen Trend Rang \(d-1\).

Das ist eine empirisch zu prüfende Annahme und keine Identität, die allein aus demselben Tickersymbol auf zwei Bildschirmen folgt. Vertragsbedingungen, Währung, Funding, Dividenden, Lieferung oder eine dauerhafte Basis können Preise auseinanderhalten. Auch ein Handelsplatzwechsel, eine Gebührenänderung, eine Marktstrukturreform oder eine geänderte Datendefinition kann die Beziehung verändern. Teilen die Reihen in der gewählten Stichprobe nicht die angenommene langfristige Beziehung, haben die Zerlegung des effizienten Preises und ihre Anteile nicht die beabsichtigte Interpretation.

Kointegration und Fehlerkorrektur verbinden eine stationäre langfristige Beziehung mit einem Modell kurzfristiger Preisänderungen (Engle and Granger, 1987). Das VECM macht diese Struktur explizit: Es trennt vorübergehende Anpassungen um den gemeinsamen Preis von Innovationen, die die langfristige Komponente beeinflussen können.

<!-- learn:illustration --> <!-- Textfreies Konzept: zwei Preisverläufe von Handelsplätzen schwanken mit vorübergehenden venue-spezifischen Abweichungen um einen gemeinsamen, glatteren langfristigen Pfad. Keine Marktdaten, Kausalzeichnung oder Prognose. -->

Für \(d\) Preisreihen lässt sich ein VECM schreiben als

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

\(\beta\) spannt die Kointegrationsbeziehungen auf, \(\alpha\) enthält die Anpassungskoeffizienten, \(\Gamma_j\) erfasst die kurzfristige Lag-Dynamik und \(\varepsilon_t\) ist der Vektor reduzierter Innovationen mit Kovarianzmatrix \(\Omega\). Im Fall eines gemeinsamen effizienten Preises lässt sich der langfristige Effekt dieser Innovationen durch einen Zeilenvektor \(\psi\) zusammenfassen. Die Änderung des permanenten Preises ist

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

abhängig von der gewählten Normalisierung und den deterministischen Termen. Ihre Varianz beträgt

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

\(\psi\) stammt aus der langfristigen Darstellung des geschätzten Systems; sie ist weder einfach der Anpassungskoeffizient \(\alpha\) noch der Kointegrationsvektor \(\beta\). Kurzfristige Preisbewegungen können groß, aber vorübergehend sein. Eine kleinere Innovation kann für die Preisfindung wichtiger sein, wenn ihr Effekt in der gemeinsamen permanenten Komponente bestehen bleibt.

Der gemeinsame Trend und seine Normalisierung müssen angegeben werden. Eine Skalierung der Darstellung des effizienten Preises verändert die Einheiten von \(\psi\) und die Varianz des gemeinsamen Preises, nicht aber die normalisierten Information Shares. Hat das System mehr als einen gemeinsamen stochastischen Trend, reicht ein einzelner skalarer effizienter Preis nicht aus. Dann muss festgelegt werden, welche permanente Komponente oder Linearkombination zerlegt wird.

Sind die Innovationen der Handelsplätze unkorreliert, ist \(\Omega\) diagonal. Dann lässt sich der Beitrag jedes Marktes direkt trennen:

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

Die Formel gewichtet den langfristigen Markteffekt mit der Varianz seiner eigenen Innovation. Ein Handelsplatz kann einen größeren Anteil erhalten, wenn seine Preisinnovation einen stärkeren permanenten Effekt oder eine höhere Innovationsvarianz hat. Ein Vergleich der absoluten VECM-Anpassungskoeffizienten genügt nicht.

Bei zeitgleich korrelierten Innovationen enthält die Gesamtvarianz auch Kovarianzterme. Aus \(\Omega\) allein ergibt sich keine eindeutige Aufteilung dieser gemeinsamen Terme auf einzelne Handelsplätze. Hasbrouck verwendet die Cholesky-Zerlegung \(\Omega=FF^{\mathsf T}\), um orthogonale Innovationen zu bilden. Bei einer festgelegten Variablenreihenfolge lautet der Anteil des orthogonalen Schocks \(i\):

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

Die Zerlegung macht die Schocks orthogonal. Durch ihre Dreiecksstruktur können früher angeordnete Variablen jedoch gemeinsame zeitgleiche Variation vorrangig aufnehmen. Die Reihenfolge ist eine Zuordnungskonvention der Zerlegung und kein Beleg für eine wirtschaftliche Informationshierarchie.

Sind die Innovationen zweier Handelsplätze stark korreliert, weil ihre Preise im selben Abtastintervall aktualisiert werden, lässt sich aus den Daten kaum erkennen, welche Innovation zuerst eintraf. Eine Cholesky-Zerlegung ordnet die gemeinsame Bewegung je nach Reihenfolge unterschiedlich zu. Hasbroucks Verfahren liefert eine Untergrenze, wenn ein Markt zuletzt steht, und eine Obergrenze, wenn er zuerst steht, jeweils über die relevanten Reihenfolgen.

Diese Grenzen beantworten eine ehrlichere Frage als eine einzelne, bequem gewählte Reihenfolge: Wie stark kann der Marktanteil unter den zulässigen rekursiven Zuordnungen korrelierter Innovationen variieren? Enge Grenzen zeigen, dass dieser Reihenfolgeeffekt in der geschätzten Stichprobe gering ist. Weite Grenzen bedeuten, dass die Aufteilung zwischen Handelsplätzen durch zeitgleiche Preisinnovationen nur schwach identifiziert wird. Ein Mittelwert wird manchmal als Zusammenfassung angegeben, ist aber keine eindeutig identifizierte Schätzung und ersetzt weder Grenzen noch eine erklärte Reihenfolge.

Häufigere Abtastung kann eine scheinbare zeitgleiche Korrelation verringern, wenn ein Handelsplatz früher aktualisiert wird. Sie garantiert jedoch keine Korrelation von null. Grobe Abtastung verdeckt die Abfolge der Aktualisierungen; sehr feine Abtastung kann veraltete Beobachtungen und asynchrone Kurse erzeugen. Berichten Sie sowohl die Abtastregel als auch die Reihenfolgensensitivität.

Zur Veranschaulichung nehme man an, ein geschätztes VECM für zwei Märkte ergebe den normalisierten permanenten Preiseffekt \(\psi=(0.6,0.4)\). Die Kovarianzmatrix der reduzierten Innovationen sei

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

Die Innovationen haben Einheitsvarianz und eine Korrelation von \(0.8\). Die Gesamtvarianz der permanenten Preisinnovation beträgt

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

Ordnen wir Markt A zuerst ein. Eine untere Dreiecksmatrix der Cholesky-Zerlegung ist

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

Die resultierenden Anteile betragen für A \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\) und für B \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\). Wird die Reihenfolge umgekehrt und B zuerst eingeordnet, weist dieselbe Rechnung B etwa 85.7 % und A 14.3 % zu. Die reihenfolgeabhängigen Grenzen liegen somit für A bei etwa 14.3 % bis 93.6 % und für B bei 6.4 % bis 85.7 %. Bei jeder einzelnen Reihenfolge summieren sich die Anteile auf 100 %; die getrennten Unter- oder Obergrenzen über Märkte hinweg müssen nicht zusammen 100 % ergeben.

Alle Werte sind hypothetisch: Der VECM-Effektvektor, die Einheitsvarianzen und die Korrelation von 0.8 dienen nur der nachvollziehbaren Rechnung. Das Beispiel ist kein Ergebnis für eine Börse, ein Asset oder eine Stichprobe. Es zeigt, wie korrelierte Innovationen eine scheinbar präzise Rangfolge von der Cholesky-Reihenfolge abhängig machen können.

Die Gonzalo-Granger-Zerlegung bildet eine permanente Komponente als normalisierte Linearkombination beobachteter Preise. In einem VECM mit Anpassungsmatrix \(\alpha\) liegen die Gewichte des gemeinsamen Faktors im orthogonalen Komplement von \(\alpha\): Ein Gewichtsvektor \(w\) erfüllt \(\alpha^{\mathsf T}w=0\), zusätzlich gilt etwa die Normierung, dass sich die Gewichte zu eins summieren. Der resultierende gemeinsame Faktor reagiert langfristig nicht auf die Fehlerkorrekturterme. Gonzalo und Granger entwickelten diese Permanente-Transitorische-Zerlegung für kointegrierte Systeme (Gonzalo and Granger, 1995).

Die Komponentengewichte beschreiben, wie sich das gemeinsame Preisniveau aus den Handelsplatzpreisen zusammensetzt. Hasbrouck Information Shares messen dagegen den Beitrag jeder Handelsplatzinnovation zur Varianz der Innovation des gemeinsamen permanenten Preises. Die Maße können ähnlich sein, doch der Information Share berücksichtigt zusätzlich die Varianz der jeweiligen Innovation. de Jong sowie Baillie, Booth, Tse und Zabotina erklären, warum die Maße bei unkorrelierten Innovationen ähnlich ausfallen und sich bei Korrelationen oder unterschiedlichen Varianzen unterscheiden können (de Jong, 200200028-9); Baillie et al., 200200027-7)).

Die hypothetischen Eingaben \(\psi\) und \(\Omega\) oben bestimmen keine Gonzalo-Granger-Komponentengewichte. Diese hängen von der Anpassungsmatrix \(\alpha\) des VECM und einer angegebenen Normalisierung ab. Aus den Eingaben der Varianzzerlegung allein folgt kein numerisches Komponentengewicht. Das ist ein zentraler Unterschied: Komponentengewichte konstruieren einen permanenten Preis aus beobachteten Preisen, während Hasbrouck Information Shares die Varianz seiner Innovation zerlegen.

Die Preisreihen müssen vergleichbare Ansprüche abbilden und anhand einer vertretbaren Zeitbasis ausgerichtet werden. Geben Sie an, ob eine Beobachtung ein Transaktionspreis, ein Midpoint oder ein anderes Kursmaß ist; wie Sie gesperrte oder gekreuzte Kurse, veraltete Preise, Auktionen, Marktschließungen und falsch sortierte Nachrichten behandeln; und ob beide Handelsplätze im Zeitraum geöffnet sind. Dokumentieren Sie bei Futures Kontraktwechsel und Lieferunterschiede. Bei mehrfach notierten Instrumenten sollten Währungen, Unternehmensmaßnahmen und Einheiten vor der VECM-Schätzung angeglichen werden.

Asynchrone Beobachtungen sind ein zentrales Problem. Aktualisiert ein Handelsplatz um 10:00:00.100 und der andere um 10:00:00.700, kann ein Ein-Sekunden-Raster eine aufeinanderfolgende Reaktion gleichzeitig erscheinen lassen; ein gröberes Raster verwischt sie noch stärker. Ein sehr feines Raster kann veraltete Preise fortschreiben und künstliche Lead-Lag-Muster schaffen. Berichten Sie Abtastfrequenz, Synchronisierung, Kursfilter und Sensitivität gegenüber plausiblen Alternativen. Kürzere Intervalle können aggregationsbedingte Korrelation verringern, beseitigen aber weder gemeinsame Schocks und gleichzeitige Aktualisierungen noch Zeitstempelfehler.

Der Anteil hängt auch von Lag-Ordnung, deterministischen Termen, Stichprobenenden und Strukturstabilität ab. Zu wenige Lags können serielle Abhängigkeit in den VECM-Innovationen lassen; zu viele erhöhen möglicherweise das Schätzrauschen. Eine Regeländerung oder veränderte Handelszeiten können den Anpassungsprozess verschieben. Nutzen Sie Residualdiagnostik und Unsicherheitsschätzungen; erwägen Sie einen Bootstrap, der das gesamte VECM und die Anteilsspannen neu schätzt. Ein kleiner Standardfehler unter nur einer Spezifikation deckt die Unsicherheit über Daten- und Modellwahl nicht ab.

Ein Information Share misst, welchen Beitrag die Innovationen der modellierten Handelsplätze unter einem bestimmten VECM und einer Orthogonalisierung zur geschätzten Varianz des permanenten Preises leisten. Ein hoher Anteil beweist weder, dass der Handelsplatz die Nachricht erzeugt hat, noch dass er bei jedem Ereignis zuerst reagiert oder die nächste Rendite vorhersagt. Gemeinsame Informationen können nahezu gleichzeitig eintreffen; Marktfriktionen und Beobachtungszeitpunkt beeinflussen die gemessene Aufteilung.

Der Anteil ist auch kein direktes Maß der Marktqualität. Ein Handelsplatz kann zum gemeinsamen Preis beitragen und zugleich eine breite Spanne, geringe angezeigte Tiefe oder hohe Ausführungskosten haben. Ein anderer bietet womöglich günstige Liquidität, trägt aber in der gewählten Stichprobe weniger zur permanenten Preisinnovation bei. Der Roll-Spread-Schätzer schätzt aus der Autokovarianz der Renditen eine andere Größe. Der Order-Flow-Imbalance-Ansatz fasst Änderungen angezeigter Warteschlangen zusammen statt langfristiger Innovationsvarianz.

Eine Handelsbehauptung erfordert einen vorab festgelegten chronologischen Out-of-Sample-Strategietest mit Gebühren, Geld-Brief-Spanne, Latenz, Slippage, Markteinfluss und Zugang zum Handelsplatz. Der Engle-Granger-Leitfaden erklärt die Ein-Gleichungs-Alternative für Kointegration; der Johansen-Rang-Leitfaden behandelt den Kointegrationsrang eines Systems. Weder Kointegration noch ein hoher Information Share belegen eine profitable Regel.