Johansen-Kointegrationstest: Rang, Spur- und Maximum-Eigenwerttest

Angenommen, \(y_t\) enthält \(k\) Variablen, die unter einer festgelegten Datenerzeugung jeweils als \(I(1)\) behandelt werden. Der Kointegrationsrang \(r\) ist die Zahl linear unabhängiger Kombinationen ihrer Niveaus, die stationär sind. Bei \(r=0\) findet das Modell unter dieser Spezifikation keine solche Kombination. Bei \(0<r<k\) gibt es \(r\) unabhängige langfristige Beziehungen und unter den üblichen Bedingungen eines \(I(1)\)-Systems \(k-r\) gemeinsame stochastische Trends. Rang eins bedeutet eine Beziehung über das gesamte System hinweg, nicht zwangsläufig ein offensichtliches Paar von Vermögenswerten.

Dies ist eine Frage zum Gesamtsystem. Das zweistufige Engle–Granger-Verfahren schätzt eine normalisierte langfristige Gleichung und testet ihr geschätztes Residuum. Johansens Likelihood-Methode schätzt und testet stattdessen die Dimension des Kointegrationsraums in einem Vektorautoregressiven Modell; damit lassen sich auch mehrere unabhängige Beziehungen erfassen. Die Methoden behandeln verwandte, aber unterschiedliche Fragen und können sich in endlichen Stichproben oder bei abweichenden Verzögerungs- und Deterministikspezifikationen unterscheiden.

Ein VAR in Niveaus lässt sich zu einer vereinfachten Fehlerkorrekturdarstellung umformen; deterministische Terme werden hier weggelassen:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Dabei ist \(p\) die Verzögerungsordnung des VAR in Niveaus. Die Spalten von \(\beta\) beschreiben langfristige Kombinationen, während \(\alpha\) die Anpassungskoeffizienten enthält, die eine Abweichung vom vorherigen Gleichgewicht mit den aktuellen Änderungen verknüpfen. Hat \(\Pi\) den Rang \(r\), lässt es sich in die \(k\times r\)-Matrizen \(\alpha\) und \(\beta\) zerlegen. Die Zahl der Fehlerkorrekturterme im System wird durch den Rang bestimmt, nicht allein durch die Anzahl der Variablen.

Sind tatsächlich alle \(k\) Reihen \(I(1)\), gilt in den üblichen Kointegrationsfällen \(r<k\). Ein Ergebnis mit vollem Rang deutet auf stationäre Niveaus um die in der geschätzten Spezifikation zugelassenen deterministischen Terme hin und sollte Anlass sein, die ursprüngliche Annahme zur Integrationsordnung zu prüfen. Rang null beweist nicht, dass die Variablen überhaupt keinen Zusammenhang haben; es bedeutet, dass das gewählte Modell bei dem getesteten Rang keine stationäre Niveaukombination gefunden hat.

Seien die geschätzten Eigenwerte geordnet als \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Sie stammen aus dem Rangreduktionsproblem des Likelihood-Verfahrens und sind keine üblichen Anteile erklärter Varianz. Für einen Kandidatenrang \(r\) lautet die Spurstatistik:

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

und prüft \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) gegen \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Sie summiert die Evidenz aus den verbleibenden Eigenwerten. Die Maximum-Eigenwertstatistik lautet:

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

und vergleicht Rang \(r\) mit dem nächsthöheren Rang \(r+1\). Der Spurentest fragt also, ob es insgesamt mehr als \(r\) Beziehungen gibt; der Maximum-Eigenwerttest fragt, ob die Daten das Hinzufügen der nächsten Beziehung stützen. Für diese Rangnullhypothesen folgt keine der beiden Statistiken der üblichen Chi-Quadrat-Referenzverteilung.

Nehmen wir ein System mit drei Variablen, 200 nutzbaren Beobachtungen und den der Größe nach sortierten geschätzten Eigenwerten \(0.16\), \(0.05\) und \(0.01\) an. Dies sind erfundene Lehrbeispiele, keine Marktschätzungen. Bei \(r=0\) summiert die Spurstatistik alle drei Terme und beträgt ungefähr \(47.14\); die Maximum-Eigenwertstatistik verwendet nur den ersten Term und beträgt ungefähr \(34.87\). Bei \(r=1\) lauten die entsprechenden Werte ungefähr \(12.27\) und \(10.26\); bei \(r=2\) verwenden beide den letzten Eigenwert und ergeben ungefähr \(2.01\).

Die Rechnung liefert Teststatistiken, aber noch keine Rangentscheidung. Dafür ist jede Statistik mit kritischen Werten oder p-Werten für den genauen Fall der deterministischen Terme und die Testsequenz zu vergleichen. Die Tabellenangabe einer Software „bei \(r=0\) verwerfen“ ist beispielsweise nur unter den Annahmen dieser Tabelle und beim gewählten Signifikanzniveau Evidenz gegen Rang null; sie ist nicht die direkte Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Asset-Spread stationär ist. Ein p-Wert oberhalb des Grenzwerts bedeutet, dass die Rangnullhypothese nicht verworfen wird, nicht, dass sie bewiesen ist.

Wählen Sie eine vertretbare VAR-Verzögerungsordnung, bevor Sie den Rang interpretieren. Ein VAR in Niveaus mit Ordnung \(p\) entspricht \(p-1\) verzögerten Differenzen im VECM. Zu wenige Verzögerungen können serielle Korrelation in den Residuen zurücklassen; zu viele verbrauchen Freiheitsgrade und können die Inferenz in endlichen Stichproben instabil machen. Informationskriterien helfen, Kandidaten zu ordnen; Residualdiagnostik, Stichprobengröße und ökonomische zeitliche Abläufe sind ebenfalls wichtig. Geben Sie an, wie die Ordnung gewählt wurde, und prüfen Sie sinnvolle Alternativen.

Legen Sie fest, wo Konstanten und Trends stehen: außerhalb der Kointegrationsbeziehung, innerhalb dieser Beziehung eingeschränkt oder im angenommenen Modell gar nicht. Diese Fälle implizieren ein unterschiedliches Langfristverhalten und unterschiedliche Verteilungen für Rangtests. Wählen Sie die Spezifikation nach Fragestellung und Daten und suchen Sie nicht nach dem günstigsten p-Wert. Verwenden Sie kritische Werte, die genau zum deterministischen Fall, zur Variablenzahl und zur Implementierung passen. Johansen-Rangstatistiken haben nichtstandardisierte Verteilungen. MacKinnon, Haug und Michelis berechnen Response-Surface-Verteilungen für bestimmte Johansen-artige Likelihood-Ratio-Tests, darunter eine Erweiterung mit exogenen \(I(1)\)-Variablen. Ihre Werte dürfen nicht auf jede Rangtestspezifikation übertragen werden.

Die Position eines deterministischen Terms ist keine bloße kosmetische Softwareoption. In üblichen Parametrisierungen erlaubt eine auf die Kointegrationsbeziehung beschränkte Konstante, dass die betreffende Gleichgewichtskombination einen von null verschiedenen Mittelwert hat; eine unbeschränkte Konstante außerhalb der Beziehung kann einen anderen deterministischen Drift in den Niveaus zulassen. Auch Trendrestriktionen verändern den angenommenen langfristigen Pfad. Eine Tabelle, die nur „Konstante enthalten“ ausweist, ist unvollständig, wenn sie nicht angibt, wo die Konstante eingeht. Lesen Sie die Modellgleichung und berichten Sie jede Restriktion.

Der Kointegrationsraum ist das zentrale Schätzziel. In einem Modell mit Rang eins ändert die Multiplikation eines Vektors \(\beta\) mit einer von null verschiedenen Konstante nicht, welche Niveaukombination stationär ist. Daher wählt die analysierende Person eine Normalisierung, etwa indem ein Koeffizient auf eins gesetzt wird. Bei höherem Rang können viele Basen denselben Raum aufspannen; die angezeigten Vektoren sind nicht automatisch eindeutige ökonomische Beziehungen. Für die Deutung eines bestimmten Vektors braucht es Einschränkungen oder zusätzliche Theorie, und die Normalisierung sollte angegeben werden.

Die Anpassungsmatrix \(\alpha\) beschreibt, welche Variablen im geschätzten System auf Ungleichgewichte reagieren. Ihr Vorzeichen hängt von der gewählten Normalisierung ab; ihre Einträge sind bedingte Systemkoeffizienten und keine eigenständigen kausalen Effekte. Eine kleine oder null gesetzte Ladung kann Anlass geben, schwache Exogenität zu prüfen. Dafür braucht es jedoch die entsprechenden formalen Restriktionen und das beibehaltene Modell. Der Kointegrationsrang allein zeigt weder, welche Variable „führt“, noch welche Beziehung ökonomisch sinnvoll ist oder wie ein Schock künftige Preise beeinflussen wird.

Die Nicht-Eindeutigkeit ist eine Eigenschaft der Faktorisierung und nicht nur eine Eigenheit der Anzeige. Für eine nichtsinguläre Matrix \(H\) erzeugen \(\beta H\) und \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) dieselbe Langfristmatrix \(\Pi\). Der geschätzte Raum kann daher identifiziert sein, obwohl ein bestimmter Satz angezeigter Vektoren nicht eindeutig ist. Die Auswahl eines Vektors als handelbarer Spread erfordert eine explizite Normalisierung oder ökonomische Restriktion; Einheiten und Risiko müssen gesondert analysiert werden.

Üblicherweise werden Kandidatenränge der Reihe nach getestet, beginnend bei null und aufsteigend bis zur ersten nicht verworfenen Nullhypothese. Der ausgewählte Rang ist eine Modellentscheidung unter dem gewählten Signifikanzniveau und der gewählten Spezifikation. Unterscheiden sich Spur- und Maximum-Eigenwerttest, berichten Sie beide Ergebnisse und untersuchen Sie Verzögerungslänge, deterministische Terme, geringe Teststärke, Strukturbrüche und Stichprobenempfindlichkeit, statt die Abweichung zu verbergen.

Die kritischen Werte der Likelihood-Ratio-Tests sind nichtstandardisiert und hängen von der Systemspezifikation ab. Verhalten nahe einer Einheitswurzel, kurze Stichproben, Ausreißer, Regimewechsel, \(I(2)\)-Variablen oder exogene integrierte Regressoren können das einfache \(I(1)\)-Modell ungeeignet machen. Eine Standardtabelle für Rangtests deckt diese Fälle nicht automatisch ab. Die ursprünglichen Arbeiten von Johansen entwickeln Likelihood-Inferenz unter Annahmen eines gaußschen VAR; spätere Response-Surface-Berechnungen liefern Referenzverteilungen für bestimmte Testspezifikationen, nicht für jedes denkbare Datenproblem.

Wenn der Spurentest \(r=0\) und \(r=1\) verwirft, \(r=2\) aber nicht, wählt die übliche sequenzielle Prozedur unter dieser Spezifikation und auf diesem Signifikanzniveau Rang zwei. Das bedeutet nicht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Rang zwei wahr ist, eins beträgt. Die Maximum-Eigenwertsequenz vergleicht Nullhypothesen benachbarter Ränge; zeigen Sie daher auch deren Entscheidungen. Verwenden Sie nicht den kritischen Wert des einen Tests für die Statistik des anderen.

Der ausgewählte Rang hängt auch vom Stichprobenzeitraum ab. Änderungen der ökonomischen Beziehung, der Marktstruktur oder der Variablendefinition können zu unterschiedlichen Rangschätzungen in frühen und späten Teilstichproben führen. Sensitivitätsanalysen können diese Instabilität aufdecken, doch die Suche über viele Endpunkte schafft ein weiteres Problem multipler Tests. Erläutern Sie, welche Zeitfenster vorab festgelegt wurden, und behandeln Sie nachträglich gewählte Teilstichproben als explorative Evidenz.

In einer Handelsstudie kann der geschätzte Vektor \(\beta\) als möglicher Spread dienen. Der Rang legt jedoch weder Ein- und Ausstiegsniveaus noch Positionsgrößen oder erwartete Renditen fest. Bei mehreren Kointegrationsvektoren kann die Auswahl einer Kombination Normalisierung, Beschränkungen und Datenauswahl erfordern. Die Gewichte können Leerverkäufe, Hebel oder geringe Liquidität bedeuten, selbst wenn eine statistische Beziehung geschätzt wurde.

Schätzen Sie das System zu jedem Entscheidungszeitpunkt nur mit den damals verfügbaren Informationen und testen Sie den vollständigen Auswahl- und Neuschätzungsprozess chronologisch. Prüfen Sie, ob die Beziehung außerhalb der Stichprobe stabil bleibt, und berücksichtigen Sie gegebenenfalls Dividenden, Kontraktwechsel, Währungsumrechnung, Finanzierung, Wertpapierleihe, Geld-Brief-Spannen, Markteinfluss und Ausführungszeitpunkt. Eine Zurückweisung der Rangnullhypothese ist Evidenz über ein spezifiziertes Modell, keine Aussage zur Profitabilität. Der Leitfaden zum Engle–Granger-Test und zur Fehlerkorrektur behandelt die Alternative mit einer Gleichung; Kointegration und Korrelation beim Pair-Trading erklärt, warum Korrelation nicht dieselbe Eigenschaft ist.

Geben Sie die \(k\) Variablen, Transformationen, Beobachtungsfrequenz, Stichprobendaten und die Evidenz zur Integrationsordnung an. Berichten Sie die Verzögerungsordnung des VAR in Niveaus, die Position der deterministischen Terme, die effektive Stichprobengröße, Spur- und Maximum-Eigenwertstatistik, passende kritische Werte oder p-Werte, Signifikanzniveau und sequenzielle Rangentscheidungen. Sagen Sie, ob beide Tests übereinstimmten, welcher Rang in der weiteren Analyse verwendet wurde und welche Sensitivitätsprüfungen das Ergebnis veränderten.

Wenn Sie Vektoren angeben, nennen Sie die Normalisierung, Restriktionen und zugehörigen Anpassungskoeffizienten. Bei Handelsanwendungen legen Sie die zu jedem Rebalancing verfügbaren Daten, die Auswahlregel für Vektoren, die Out-of-Sample-Planung, Kosten und den Umgang mit Fehlschlägen offen. Johansens Analyse von Kointegrationsvektoren aus dem Jahr 198890041-3) entwickelt den Likelihood-Ansatz für Kointegrationsraum und Rang. Seine Arbeit zum gaußschen VAR von 1991 behandelt Ranginferenz und Hypothesen über die Vektoren. MacKinnon, Haug und Michelis stellen Response-Surface-Verteilungen für Likelihood-Ratio-Tests auf Kointegration bereit. Weitere Leitfäden erklären Stationarität und Einheitswurzeln.