KPSS স্থিরতা পরীক্ষা: শূন্য অনুমান, পরিসংখ্যান ও ব্যান্ডউইথ

Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin পরীক্ষার সংক্ষিপ্ত নাম KPSS। পরিচিত Dickey–Fuller পরীক্ষাগুলোর শূন্য অনুমান এটি উল্টে দেয়। KPSS-এর শূন্য অনুমান হলো, পরীক্ষায় নির্দিষ্ট করা নির্ধারিত উপাদানকে কেন্দ্র করে সিরিজটি স্থির। মূল কাঠামোর বিকল্প অনুমানে ধনাত্মক innovation variance-সহ একটি random-walk component থাকতে পারে।

ফল ব্যাখ্যা করার সময় এই পার্থক্যটি জরুরি। যথেষ্ট বড় KPSS পরিসংখ্যান নির্বাচিত স্তর বা প্রবণতা-স্থিরতার শূন্য অনুমানের বিরুদ্ধে প্রমাণ দেয়। ছোট পরিসংখ্যান মানে নির্বাচিত সেটআপে নমুনা শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যানের যথেষ্ট প্রমাণ দেয়নি। এটি প্রক্রিয়াটি স্থির, গড় চিরকাল স্থিতিশীল, বা দাম কার্যকর ট্রেডিং স্তরে ফিরে আসবে—এর কোনোটি প্রমাণ করে না।

স্থিরতা ও ইউনিট-রুট নির্দেশিকা সংশ্লিষ্ট ধারণাগুলো পরিচয় করায়। ADF ও Phillips–Perron তুলনা এমন দুটি পরীক্ষার ব্যাখ্যা দেয় যেগুলো শূন্য অনুমানে ইউনিট রুট রাখে। এগুলো পরস্পর-পরিপূরক প্রশ্ন, একই পরীক্ষার বিনিমেয় সংস্করণ নয়।

KPSS পর্যবেক্ষিত সিরিজকে এভাবে প্রকাশ করে:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

এখানে \(d_t\) নির্ধারিত অংশ, \(r_t\) random-walk component এবং \(\epsilon_t\) স্থির error। স্তর-স্থিরতার পরীক্ষায় \(d_t\)-তে একটি intercept থাকে। প্রবণতা-স্থিরতার পরীক্ষায় intercept ও একটি linear time trend থাকে।

শূন্য অনুমানে random walk-এর innovation variance শূন্য: \(\sigma_u^2=0\)। তখন সিরিজটি নির্ধারিত ধ্রুবক বা প্রবণতার চারপাশে ওঠানামা করে। বিকল্প অনুমানে \(\sigma_u^2>0\) অনুমোদিত, তাই shock নির্ধারিত পথের চারপাশে ক্ষয় না হয়ে stochastic trend গড়ে তুলতে পারে।

এটি পরীক্ষার ধরে নেওয়া মডেল; সব বিকল্পই পাঠ্যবইয়ের random walk—এমন দাবি নয়। structural break, fractional persistence, nonlinear dynamics, পরিবর্তনশীল variance, বা ভুল নির্ধারিত উপাদান নমুনার সঙ্গে স্থিরতার মডেলের অসামঞ্জস্য তৈরি করতে পারে। পরীক্ষা অনুমানের সঙ্গে সংঘাত দেখায়, কিন্তু একটিমাত্র বিকল্প মডেল শনাক্ত করে না।

প্রথমে নির্বাচিত নির্ধারিত উপাদানের ওপর পর্যবেক্ষণগুলো regress করে অবশিষ্টাংশকে \(\hat e_t\) বলুন। তাদের cumulative partial sum হলো:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

KPSS পরিসংখ্যান সাধারণত লেখা হয়:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

যেখানে \(n\) নমুনার আকার এবং \(\hat{\omega}^{\,2}\) অবশিষ্টাংশের দীর্ঘমেয়াদি ভ্যারিয়েন্সের আনুমানিক মান। অবশিষ্টাংশের চিহ্ন দীর্ঘ সময় একই থাকলে \(S_t\) শূন্য থেকে সরে যায়। আংশিক যোগফল বর্গ করায় বিচ্ছিন্ন sign change-এর চেয়ে ধারাবাহিক বিচ্যুতি বেশি অবদান রাখে।

পরিসংখ্যানটি ঋণাত্মক হয় না। আনুমানিক দীর্ঘমেয়াদি ভ্যারিয়েন্সের তুলনায় সঞ্চিত বিচ্যুতি যত বড় হয়, স্থিরতার শূন্য অনুমান ধরে রাখা তত কঠিন। হরটি গুরুত্বপূর্ণ: স্থির প্রক্রিয়াতেও অবশিষ্টাংশের serial dependence আংশিক যোগফলের প্রত্যাশিত ওঠানামা বদলে দেয়।

স্তর সংস্করণে জিজ্ঞাসা করা হয় সিরিজটি কোনো ধ্রুবকের চারপাশে স্থির কি না। প্রবণতা সংস্করণে intercept ও linear time trend বাদ দিয়ে অবশিষ্ট অংশ স্থির কি না দেখা হয়। প্রচলিত কিছু implementation এই ক্ষেত্রগুলোকে mu ও tau বলে, তবে সফটওয়্যারভেদে নাম ও output আলাদা হতে পারে।

নির্ধারিত উপাদান বদলালে অবশিষ্টাংশ এবং reference distribution—দুটিই বদলায়। প্রবণতা-স্থির সিরিজে প্রবণতা বাদ পড়লে অবশিষ্টাংশে দীর্ঘ pattern থেকে পরিসংখ্যান বেড়ে যেতে পারে। আবার কারণ ছাড়া প্রবণতা যোগ করলে পরীক্ষাধীন মডেল বদলায় এবং কিছু বিকল্প শনাক্ত করার ক্ষমতা কমে যেতে পারে। ডেটার সংজ্ঞা ও অর্থনৈতিক প্রশ্ন থেকে পছন্দটি নির্ধারণ করে তা জানান; পছন্দসই ফল না পাওয়া পর্যন্ত সেটআপ পাল্টাবেন না।

KPSS-এর critical value স্তর ও প্রবণতা ক্ষেত্রের জন্য ভিন্ন nonstandard asymptotic distribution অনুসরণ করে। সাধারণ t বা chi-square cutoff-এর সঙ্গে পরিসংখ্যান তুলনা করবেন না, কিংবা একটি মুখস্থ threshold-কে সব deterministic specification-এ প্রয়োগ করবেন না। উপযুক্ত table বা software output এবং significance level জানান।

কিছু implementation কেবল p-value-এর একটি range দেয়, কারণ তারা সীমিত critical-value table-এর সঙ্গে পরিসংখ্যান তুলনা করে। সে ক্ষেত্রে output যে range সমর্থন করে সেটিই জানান; ভিত্তিহীন অতিরিক্ত decimal যোগ করবেন না। অন্য কেউ যেন সিদ্ধান্ত পুনরুৎপাদন করতে পারেন, সে জন্য স্তর/প্রবণতার ধরন ও critical value-এর উৎস উল্লেখ করুন।

<!-- learn:illustration -->

দীর্ঘমেয়াদি ভ্যারিয়েন্সের একটি প্রচলিত estimator অবশিষ্টাংশের weighted autocovariance ব্যবহার করে:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

এখানে, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) হলো lag \(j\)-এর sample autocovariance, যেখানে denominator \(n\); software-ভেদে finite-sample convention আলাদা হতে পারে।

Bartlett weight হলে \(w_j=1-j/(\ell+1)\)। Truncation bandwidth \(\ell\) ঠিক করে কতটি residual autocovariance অন্তর্ভুক্ত হবে এবং তাদের weight কত দ্রুত কমবে। Kernel, bandwidth rule ও finite-sample convention implementation অনুযায়ী বদলাতে পারে, তাই পুনরুৎপাদনযোগ্য ফলের জন্য সেটিংগুলো উল্লেখ করুন।

এই bandwidth ADF regression-এ যোগ করা lagged difference-এর সংখ্যা নয়। KPSS-এ এটি long-run variance estimate নিয়ন্ত্রণ করে; ADF-এ augmentation lag সরাসরি regression-এর অংশ। সফটওয়্যার দুটোকেই lag বলতে পারে, তাই শুধু “lag 4” লেখা পুনরুৎপাদনযোগ্য বিবরণ নয়।

খুব ছোট bandwidth গুরুত্বপূর্ণ short-run dependence-কে long-run variance estimate থেকে বাদ দিতে পারে। অনেক বড় bandwidth noisy sample autocovariance যোগ করতে পারে। উভয়ই statistic এবং test size বা power বদলাতে পারে; সব residual pattern-এ প্রভাবের দিক এক নয়। Kernel ও lag-selection rule জানান, এবং যুক্তিসঙ্গত পূর্বনির্ধারিত বিকল্পে ব্যাখ্যা বদলায় কি না দেখুন।

এই long-run variance adjustment heteroskedasticity-and-autocorrelation-consistent covariance estimation-এর সঙ্গে সম্পর্কিত। তবে এতে KPSS সব ধরনের dependence, structural break, বা ভুল deterministic specification-এর বিরুদ্ধে robust হয়ে যায় না। Newey–West covariance নির্দেশিকা HAC estimate-এর বিস্তৃত ভূমিকা ও সীমা আলোচনা করে।

ধরা যাক, ছয়টি synthetic observation-এর trend regression থেকে residual পাওয়া গেল \(1,-1,0,0,-1,1\)। এদের যোগফল শূন্য এবং linear time trend-এর সঙ্গে inner product-ও শূন্য—trend-regression residual-এর মতোই। Partial sum হলো \(1,0,0,0,-1,0\), তাই squared partial sum-এর যোগফল \(2\)।

হিসাব বোঝানোর জন্য denominator-\(n\) sample autocovariance convention এবং bandwidth একের Bartlett weight ব্যবহার করুন। Residual variance term \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\)। Lag-one autocovariance \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), আর তার Bartlett weight \(1/2\)। অতএব:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

ছয়টি observation-এর এই হিসাব শুধু পদ্ধতিটি দেখায়। প্রচলিত asymptotic KPSS সিদ্ধান্তের জন্য নমুনা অত্যন্ত ছোট; এটিকে বাস্তব empirical finding ধরে প্রকাশিত critical value-এর সঙ্গে তুলনা করবেন না।

ADF-ধরনের পরীক্ষার পাশে KPSS চালালে সিদ্ধান্ত শূন্য অনুমানের ওপর কতটা নির্ভর করছে বোঝা যায়। দুই ভিন্ন মডেলের অধীনে প্রমাণ হিসেবে ফলগুলো পড়ুন:

ল্যাগ সংশোধন, deterministic specification, নমুনা এবং finite-sample approximation-এ পরীক্ষাগুলো ভিন্ন হতে পারে। সম্ভব হলে পছন্দগুলো সামঞ্জস্য করুন এবং অনিবার্য পার্থক্য লিখুন। চারটি ফলকে স্বয়ংক্রিয় differencing rule বানাবেন না। কোনো শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান না হওয়া মানে সেটি সত্য নয়।

গড়ের এককালীন পরিবর্তন, trend shift, বা variance break পূর্ণ নমুনায় regime-ভিত্তিক স্থির প্রক্রিয়াকেও nonstationary দেখাতে পারে। বিপরীতে, একের কাছাকাছি root-কে সীমিত ডেটায় unit root থেকে আলাদা করা কঠিন হতে পারে। ছোট sample, outlier, heavy tail, nonlinear adjustment ও fractional integration-ও reference approximation-কে বিভ্রান্ত করে।

পরীক্ষার ফল জানানোর আগে level, নির্বাচিত deterministic fit এবং residual plot করুন। break সম্ভাব্য হলে null, break treatment ও critical value স্পষ্ট করে break-aware design নিন। একাধিক break date বা bandwidth খুঁজলে সেই selection জানান; খোঁজের মধ্যে সর্বনিম্ন p-value-কে অবিকৃত test result বলা যায় না।

দুটি asset-এর pair বা spread পরীক্ষা করলে KPSS cointegration যাচাই করে না। Engle–Granger নির্দেশিকা residual-based cointegration procedure ও তার আলাদা critical-value সমস্যার ব্যাখ্যা দেয়। Johansen rank নির্দেশিকা system approach আলোচনা করে। একটি price series-এর KPSS ফল এ দুটির বিকল্প নয়।

অনুমিত hedge ratio, ARMA model বা নির্বাচিত break date থেকে পাওয়া residual-এ KPSS চালালে আগের estimation step-টিও গুরুত্বপূর্ণ। Parameter estimation ও model selection null distribution বদলাতে পারে। পুরো pipeline-এর জন্য সাধারণ critical value বৈধ ধরে নেবেন না; fitted model অনুযায়ী calibrated residual test বা estimation ধাপগুলো পুনরাবৃত্ত করা bootstrap ব্যবহার করুন।

Variable ও transformation, observation count, level বা trend null, deterministic term, long-run variance kernel, bandwidth rule, statistic, উপযুক্ত critical value বা p-value এবং significance level জানান। Sensitivity check-এর বিকল্পগুলো যুক্তিসঙ্গত ও স্বচ্ছভাবে বেছে নিলেই তা দেখান; বহু window ও version পরীক্ষা করে সবচেয়ে আকর্ষণীয় ফল বেছে নেবেন না।

Market data হলে sample date, frequency, session alignment, missing-value treatment, এবং series-টি price level, return, residual না spread—তা জানান। KPSS null প্রত্যাখ্যান না হওয়া মানে spread শিগগির converge করবে এমন নয়। Mean-reversion strategy-তে equilibrium-এর সংজ্ঞা, out-of-sample evaluation, বাস্তব সময়ে পাওয়া signal timing এবং spread, funding, borrow ও execution-এর বাস্তবসম্মত cost দরকার।

লগ-দামের স্তর পরীক্ষা এবং লগ-দামের প্রথম পার্থক্য—অর্থাৎ রিটার্ন—পরীক্ষা দুটি আলাদা প্রশ্নের উত্তর দেয়। কিছু মডেলে পার্থক্য নিলে stochastic trend সরে যেতে পারে, কিন্তু তাতে পরীক্ষাধীন চলক বদলে যায় এবং দুটি সম্পদের দীর্ঘমেয়াদি সম্পর্ক প্রমাণিত হয় না। বিশ্লেষ্য রাশি ও মডেল অনুযায়ী রূপান্তর বেছে স্পষ্টভাবে জানান।

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ও Shin-এর 1992 সালের প্রবন্ধ90104-Y) random-walk component-এর variance শূন্য কি না—এমন LM test হিসেবে KPSS প্রস্তাব করে। HAC covariance estimation-এর জন্য positive-semidefinite পদ্ধতির প্রধান সূত্র Newey ও West-এর 1987 সালের প্রবন্ধ। Unit-root null-এর তুলনার জন্য Dickey ও Fuller-এর 1979 সালের প্রবন্ধ দেখুন।