ADF বনাম Phillips–Perron: Unit-root test কীভাবে আলাদা

Autoregressive level equation-এ unit root মানে shock level থেকে ক্ষয় নাও হতে পারে। First difference-কে lagged level-এর ওপর regression করলে hypothesis পরিষ্কার হয়: lagged-level coefficient শূন্য হলে নির্দিষ্ট model-এর অধীনে level process-এর root এক। অন্যান্য assumption ও deterministic term যথাযথ হলে ঋণাত্মক coefficient stationary alternative-এর দিকে evidence দেয়।

তাই প্রচলিত ADF ও PP implementation-এর null “series stationary” নয়। Null হলো unit root; alternative হলো বেছে নেওয়া deterministic component-এর চারপাশে stationarity। Statistic যথেষ্ট ঋণাত্মক না হওয়ায় null reject না করা unit root-এর প্রমাণ নয়। Sample-এ unit root আর root একের কাছাকাছি এমন persistent stationary process আলাদা করার তথ্য কমও থাকতে পারে।

এটি KPSS-এর মতো stationarity-null test বা সরাসরি cointegration test থেকে আলাদা। Stationarity ও unit root guide বিস্তৃত ধারণা ব্যাখ্যা করে; Engle–Granger guide nonstationary series-এর linear combination stationary হওয়ার বিশেষ ক্ষেত্রটি দেখে।

Unit-root regression-এ deterministic term একেবারেই না রাখা, constant রাখা, অথবা constant ও linear time trend দুটোই রাখা যায়। এগুলো সাজসজ্জার option নয়। Constant unit-root null-এর অধীনে drift এবং stationary alternative-এর অধীনে nonzero mean অনুমোদন করে। Trend stationary alternative-কে deterministic trend-এর চারপাশে চলতে দেয়। Term বদলালে model ও null distribution-ও বদলে যায়।

অপ্রয়োজনীয় trend দিলে অতিরিক্ত parameter estimate করতে হয় বলে power কমতে পারে। বাস্তব drift বা trend বাদ দিলে test-এর size ও ব্যাখ্যা বিকৃত হতে পারে। Data-generating প্রশ্ন ও series-এর plot দেখে আগে specification ঠিক করুন, সেটি স্পষ্ট করে লিখুন এবং মিলযুক্ত critical value ব্যবহার করুন। পছন্দের rejection পাওয়া যায় এমন specification পরে বেছে নেবেন না।

একই কথা log price, spread, interest rate এবং return-এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। Price level-এ ঊর্ধ্বমুখী trend যুক্তিযুক্ত হলেও return-এ তা নাও হতে পারে। কোন economic variable পরীক্ষা হচ্ছে, test সেটি নিজে ঠিক করে না। Deterministic component hypothesis-এর অংশ, গোপন preprocessing choice নয়।

Augmented Dickey–Fuller regression লেখা যায়:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

এখানে dₜ বেছে নেওয়া deterministic term এবং null H₀: γ = 0। অতিরিক্ত lagged difference-এর উদ্দেশ্য হলো অবশিষ্ট disturbance-কে test approximation-এর জন্য যথাযথ আচরণে আনা। এগুলো regression-এর মধ্যে short-run dynamics-কে parametricভাবে model করে; unit-root restriction বাড়ায় না।

Lag order p গুরুত্বপূর্ণ। Lag কম হলে εₜ-তে serial correlation রয়ে যেতে পারে এবং approximation দুর্বল হতে পারে। Lag বেশি হলে degree of freedom কমে, বিশেষত short sample-এ power কমতে পারে। Stated maximum lag দিয়ে শুরু করে গ্রহণযোগ্য information-criterion rule ও residual diagnostic তুলনা করুন; কাছাকাছি lag choice-এ ফল বদলায় কি না জানান। ছোট selected lag মানেই residual dependence ক্ষতিকর নয়, এমন প্রমাণ নয়। Harris (1992)90022-Q)-এর Monte Carlo study ADF lag structure, size এবং power-এর operational choice পরীক্ষা করে।

কিছু process-এ lag নির্বাচন কঠিন। Ng ও Perron দেখান, moving-average root −1-এর কাছাকাছি হলে তাঁদের বিশ্লেষণ করা unit-root procedure-এ প্রচলিত AIC বা BIC প্রয়োজনের তুলনায় খুব কম augmentation lag বেছে নিতে পারে। তাঁদের modified information criterion GLS detrending-সহ unit-root procedure ও সংশ্লিষ্ট test-এর জন্য তৈরি। এটি নির্দিষ্ট dynamics-এর সতর্কতা; সব সময় একটি criterion বা দীর্ঘ lag উত্তম—এমন নিয়ম নয়।

Phillips–Perron test ADF-এর lagged-difference sum ছাড়া Dickey–Fuller ধরনের regression দিয়ে শুরু করে:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

এরপর short-run variance ও long-run covariance estimate দিয়ে test statistic সংশোধন করে। একটি প্রচলিত long-run variance estimate-এর রূপ হলো:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

এখানে γ̂ⱼ residual autocovariance, K kernel weight এবং ℓ bandwidth বা truncation choice। PP statistic ও software convention অনুযায়ী নির্দিষ্ট সূত্র আলাদা হতে পারে। মূল পার্থক্য একই: ADF regression-এ lagged difference যোগ করে; PP ছোট regression-এর statistic-এ nonparametric dependence correction দেয়।

PP-কে “robust standard error-সহ ADF” বলা ঠিক নয়। এর correction unit-root statistic ও তার asymptotic treatment বদলায়; সাধারণ robust regression output ordinary t critical value-কে বৈধ করে না। Kernel ও bandwidth ঠিক করে correction কতটা dependence ধরবে। Bandwidth খুব ছোট হলে গুরুত্বপূর্ণ correlation বাদ পড়তে পারে; খুব বড় হলে noisy long-run variance estimate হতে পারে।

<!-- learn:illustration -->

Unit-root null-এর অধীনে lagged level stationary regressor নয়, stochastic trend থেকে আসে। তাই DF-family statistic-এর limiting distribution nonstandard; বড় sample-এও conventional t table উপযুক্ত reference নয়। Regression-এ constant আছে কি না, constant ও time trend আছে কি না, কোন statistic ও implementation ব্যবহার হয়েছে—critical value তার ওপর নির্ভর করে।

Dependence ধরতে PP statistic transform করা হলেও unit-root null উপযুক্ত nonstandard reference law-এর সঙ্গেই তুলনা করতে হয়। Deterministic term ও statistic-এর সঙ্গে মেলে এমন স্বীকৃত implementation-এর critical value বা p-value ব্যবহার করুন। এক specification-এর ADF statistic-এর সঙ্গে অন্য specification-এর PP critical value তুলনা করবেন না; displayed coefficient t-ratio-কে ordinary Student t ভাববেন না।

Asymptotic calibration প্রতিটি finite sample-এ ভালো কাজ করবে এমন নিশ্চয়তা দেয় না। Schwert-এর Monte Carlo investigation unit-root procedure-এ model misspecification sensitivity এবং methodভেদে আলাদা finite-sample behavior জানায়। তাই p-value পড়ার সময় sample length, data dependence, lag বা bandwidth, এবং regression specification একসঙ্গে বিবেচনা করুন।

Test size হলো সত্য unit-root null ভুলভাবে reject করার probability; power হলো নির্দিষ্ট stationary alternative-এর অধীনে reject করার probability। প্রকৃত dependence structure-এ size ঠিক না থাকলে কোনো sample-এ ফল নিশ্চিত দেখালেও ভুল inference হতে পারে। ADF lag এবং PP long-run covariance correction সম্পর্কিত dependence problem-কে আলাদা approximation-এ ধরে; একটির result অন্যটিকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে robust করে না।

ADF-এ lag যোগ করার পর residual autocorrelation আছে কি না এবং আরেকটি lag দিলে inference বদলায় কি না দেখুন। PP-তে kernel ও bandwidth rule জানান এবং যুক্তিযুক্ত বিকল্প পরীক্ষা করুন। এগুলো sensitivity check; অনেক specification চালিয়ে সবচেয়ে সুবিধাজনক p-value বেছে নেওয়ার অনুমতি নয়। Ng–Perron-এর ফলও দেখায়, lag choice disturbance process ও deterministic detrending-এর সঙ্গে মিথস্ক্রিয়া করে; যান্ত্রিক information criterion সব design মেটায় না।

খুব persistent কিন্তু stationary alternative-এর বিরুদ্ধে দুই test-এর power কম হতে পারে। Null reject না হওয়া differencing দরকার—এমন ইতিবাচক evidence নয়। Sample ছোট হলে, root একের কাছে হলে, বা model-এর জন্য সিদ্ধান্তটি গুরুত্বপূর্ণ হলে ADF ও PP-কে স্বাধীন ভোট মনে না করে স্পষ্ট assumption-সহ complementary evidence ও বিকল্প procedure বিবেচনা করুন।

Level shift, trend change, policy regime, currency peg change বা market structure change series-কে persistent দেখাতে পারে; অথচ পরিবর্তনশীল deterministic path-এর চারপাশে stationary segment দিয়ে সেটি ভালোভাবে বোঝানো যেতে পারে। বড় ঐতিহাসিক break নিয়ে Perron-এর analysis দেখায়, break অনুমোদন করা হয় কি না তার ওপর unit-root conclusion নির্ভর করতে পারে। Standard ADF ও PP নিজে থেকে সব break শনাক্ত করে না।

Series plot করুন, জানা institutional change লিখে রাখুন এবং break-aware test বা segmented model আসল প্রশ্নের উপযোগী কি না দেখুন। একই sample দেখে পরে break খুঁজলে inference বদলাতে পারে; search-উপযোগী critical value-সহ method ব্যবহার করুন অথবা বিশ্লেষণ exploratory বলে জানান। Bai–Perron guide regression break estimation বোঝায়; এটি unmodified ADF বা PP correction নয়।

Transformation-ও গুরুত্বপূর্ণ। Price level, log price, price spread এবং return আলাদা economic variable। Unit-root-এর মতো level difference করলে স্থিতিশীল series হতে পারে; stationary level difference করলে তথ্য হারিয়ে অপ্রয়োজনীয় noisy specification তৈরি হতে পারে। Pair research-এ cointegration analysis আলাদা stochastic trend ও সম্ভাব্য stationary spread পার্থক্য করতে সাহায্য করে। কোনো diagnostic একা profitable strategy প্রমাণ করে না।

ধরা যাক একটি hypothetical level process:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

এখানে μ constant drift এবং εₜ serially dependent innovation হতে পারে। yₜ₋₁ বিয়োগ করলে Δyₜ = μ + εₜ হয়; সংশ্লিষ্ট differenced regression-এ lagged-level coefficient γ শূন্য থাকে, যা unit-root null-এর রূপ। এই algebra p-value দেয় না: reference law nonstandard এবং deterministic term ও dependence treatment-এর ওপর নির্ভর করে।

ADF fit করলে lagged difference regression-এ short-run dependence প্রকাশের চেষ্টা করে। PP-তে base equation ছোট থাকে এবং statistic estimated long-run covariance correction পায়। Data-তে deterministic trend break থাকলে software-এর statistic নির্ভুল দেখালেও standard implementation দুটিই misspecified হতে পারে।

তাই তুলনার তিনটি স্তর আছে: substantive null, regression/deterministic specification এবং residual dependence correction। প্রথম দুটো স্থির থাকলে ADF ও PP বিকল্প diagnostic; তিনটিই বদলে কোনো একটির rejection না পাওয়া robustness test নয়। ফলের অমিল assumption ও tuning পরীক্ষা করার ইঙ্গিত, স্বয়ংক্রিয় model নির্বাচন নয়।

Variable ও transformation, sample date, frequency, deterministic term, ADF lag rule ও selected order, অথবা PP statistic, kernel ও bandwidth জানান। Null ও alternative, statistic, matching critical value বা p-value, residual autocorrelation ও break check উল্লেখ করুন। যুক্তিযুক্ত choice-এ result sensitive হলে বলুন; পছন্দের narrative-কে সমর্থন করে এমন specification শুধু দেখাবেন না।

ব্যবহারিক পদ্ধতিতে আগে লক্ষ্য ও অর্থনৈতিক মডেল নির্ধারণ করুন, তারপর deterministic term বেছে নিয়ে সঠিকভাবে নির্দিষ্ট ADF বা PP test চালান। এরপর dependence ও সম্ভাব্য break পরীক্ষা করে complementary evidence-এর সঙ্গে ফল তুলনা করুন। Variance-ratio guide random-walk আচরণের আরেকটি দিক পরীক্ষা করে। এর null hypothesis এক নয়, এবং এটি unit-root test-এর বিকল্পও নয়।

ADF বা PP নির্দিষ্ট threshold পেরোলেই differencing করতে বলে না। Differencing হলো series ও গবেষণা-প্রশ্ন সম্পর্কিত modeling decision। পরিবর্তনের forecast, long-run relation estimation, trading spread পরীক্ষা, অথবা level-এর তথ্য ধরে রাখার লক্ষ্য—প্রতিটির জন্য আলাদা পছন্দ হতে পারে। Test সিদ্ধান্তে সহায়তা করে, তবে চূড়ান্ত transformation-এ data-generating story, stability, forecast objective এবং cointegrating structure-ও বিবেচনা করুন।