Variance Ratio Test: Random Walk, সময়সীমা ও ট্রেডিং

ধরা যাক, \(P_t\) হলো পর্যবেক্ষিত দাম এবং \(x_t=\ln(P_t)\) হলো তার log price। এক-পর্বের log return হলো \(r_t=x_t-x_{t-1}\)। \(q\)-পর্বের log return পরপর \(q\)টি এক-পর্বের return যোগ করে। এই increment-গুলো পরস্পর অসংসম্পর্কিত এবং variance স্থিতিশীল হলে, যোগফলের variance \(q\)-এর সমানুপাতিক হারে বাড়ে।

Population variance ratio হলো

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

এই variance-scaling শর্তে, \(\operatorname{VR}(q)=1\)। Lo–MacKinlay পদ্ধতি এই সম্পর্ককে sample statistic এবং random-walk restriction-এর পরীক্ষায় রূপ দেয়। “এক” হলো অসংসম্পর্কিত increment-এর variance-scaling benchmark; এর অর্থ দাম মসৃণ বা পূর্বানুমেয় নয়। তাঁদের মূল প্রয়োগে ঐতিহাসিক U.S. equity data-তে random-walk specification প্রত্যাখ্যাত হয়েছিল, তবে তাঁরা স্পষ্ট সতর্ক করেছিলেন যে শুধু প্রত্যাখ্যান থেকেই mean-reverting price model প্রতিষ্ঠিত হয় না।

স্থির বৈশিষ্ট্যের এক-পর্বের return-এ lag \(j\)-এর autocorrelation \(\rho_j\) হলে, একই population ratio লেখা যায়

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

প্রতিটি autocorrelation-এর ওজন lag বাড়ার সঙ্গে কমে। তাই ratio-টি \(q-1\) পর্যন্ত lag জুড়ে serial correlation-এর একটি weighted সারাংশ; এটি কোনো একটি lag-এর autocorrelation-এর সমান নয়।

\(q=4\) হলে, ধরা যাক একটি কাল্পনিক return process-এ \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\), এবং \(\rho_3=0\)। তাহলে

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

এক-এর বেশি মানটি ওই সময়সীমাগুলোতে ধনাত্মক weighted dependence বোঝায়। প্রথম দুই autocorrelation যথাক্রমে \(-0.10\) ও \(-0.04\), আর তৃতীয়টি শূন্য থাকলে ratio হতো \(0.83\)। এগুলো কাল্পনিক population হিসাব। Sampling variation, পরিবর্তনশীল volatility এবং estimator-এর finite-sample correction-এর কারণে পর্যবেক্ষিত sample estimate ভিন্ন হতে পারে।

একই সময়সীমায় ভিন্ন autocorrelation pattern থেকেও একই ratio পাওয়া যেতে পারে। ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অবদান পরস্পরকে বাতিল করতে পারে, তাই ratio ঠিক এক হলেও প্রতিটি অন্তর্ভুক্ত autocorrelation শূন্য হওয়া জরুরি নয়। আগে থেকে নির্ধারিত একাধিক সময়সীমা দেখলে ভিন্ন pattern ধরা পড়তে পারে, তবে একসঙ্গে ফল পরীক্ষা করলে joint inference দরকার।

সাধারণত সমান ব্যবধানের log price বা তার first difference-এ পরীক্ষাটি প্রয়োগ করা হয়। পর্যবেক্ষণ যদি daily close হয়, \(q=5\) মানে পাঁচ trading session-এর return; ভিন্ন সংখ্যক trading session-সহ calendar week নয়। বাদ পড়া session, overnight gap ও অনিয়মিত timestamp “এক পর্ব” বলতে কী বোঝায় তা বদলে দেয়। Market calendar এবং দামে distribution বা অন্যান্য corporate action অন্তর্ভুক্ত কি না, তা জানান।

Log return-এর বদলে simple return ব্যবহার করা একটি modeling choice; সব horizon-এ এটি নিছক নামের বদল নয়। Log return সময়ের সঙ্গে সরাসরি যোগ হয়, আর simple return compounding হয়। ছোট পরিবর্তনে সংখ্যাগুলো কাছাকাছি হতে পারে, তবে সংজ্ঞাটি গবেষণার প্রশ্নের সঙ্গে মিলতে হবে এবং উদাহরণ, estimation ও backtest জুড়ে একই থাকতে হবে। Price level-এ যেন return series-এর মতো করে সূত্র প্রয়োগ না হয়।

বেশিরভাগ implementation-এ \(q\)-পর্বের overlapping return তৈরি করা হয়, যাতে প্রতিটি উপলভ্য observation estimate-এ অবদান রাখে। এতে aggregated observation-এর সংখ্যা বাড়ে, কিন্তু পাশাপাশি থাকা window-গুলো অনেক এক-পর্বের return ভাগ করে এবং স্বাধীন নয়। পরীক্ষার standard error তার maintained assumptions-এর অধীনে এই গঠন বিবেচনা করে; overlapping return-কে স্বাধীন ধরলে uncertainty কম দেখাবে।

ধরা যাক, একটি কাল্পনিক asset-এর এক-session return variance \(0.0001\), যা এক-session standard deviation 1%-এর সমান। Increment অসংসম্পর্কিত হলে চার-session return variance \(4\times0.0001=0.0004\), তাই standard deviation 2% এবং ratio \(0.0004/(4\times0.0001)=1\)।

এবার ধরা যাক, এক-session estimate \(0.0001\) থাকলেও চার-session estimated variance \(0.000468\)। Sample ratio হবে \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\)। এই হিসাব নির্বাচিত সময়সীমায় বিচ্যুতি কীভাবে তুলনা হয় তা বর্ণনা করে। এর মানে প্রত্যাশিত return 17% বেশি, আগামীকাল return ধনাত্মক হওয়ার সম্ভাবনা 17% বেশি, বা চার-session position-এর প্রত্যাশিত payoff 17%—এমন নয়।

অনুমানভিত্তিক দাবি করতে estimated ratio-কে তার test distribution এবং uncertainty estimate-এর সঙ্গে তুলনা করুন। Ratio 1-এর কাছাকাছি হলেও price process-এর অন্য বৈশিষ্ট্য full random-walk model লঙ্ঘন করতে পারে। আবার noisy বা ছোট sample-এ 1 থেকে দূরের ratio-ও পরিসংখ্যানগতভাবে 1 থেকে আলাদা নাও হতে পারে। Estimate, test statistic, p-value ও অর্থনৈতিক ব্যাখ্যা আলাদা রাখুন।

প্রচলিত homoskedastic Lo–MacKinlay statistic-এ \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\)-কে constant-variance increment ধরে উদ্ভূত asymptotic variance দিয়ে studentize করা হয়। Return-এর conditional volatility বদলালে সেই standard error ব্যবহার করে test size ভুল নির্ণয় হতে পারে। Lo ও MacKinlay variance-ratio statistic-এর জন্য heteroskedasticity-consistent variance estimate-ও তৈরি করেছেন।

“Heteroskedasticity-consistent”-এর নির্দিষ্ট পরিসর আছে: test-এর assumptions-এর অধীনে return variance-এর বিস্তৃত পরিবর্তনের জন্য এটি inference সমন্বয় করে। ভুল price series, সব সম্ভাব্য horizon-এর dependence, structural break, stale quote বা অপর্যাপ্ত ছোট sample—এসব সমস্যার সমাধান করে না। কিছু software \(Z\) ও \(Z^*\)-এর মতো প্রতীক দিয়ে দুই পছন্দ চিহ্নিত করে; কোন null ও standard-error formula ব্যবহার করে তা জানতে documentation দেখুন।

১৯৮৯ সালের finite-sample গবেষণায় দেখা হয়েছিল ফল কোন null ও alternative বিবেচনা করা হচ্ছে তার ওপর নির্ভর করে। গবেষণায় পরীক্ষিত কিছু বিকল্প test-এর তুলনায় heteroskedastic random-walk null-এর অধীনে ভালো reliability পাওয়া যায় বলে তাঁরা জানান। এটি প্রতিটি sample বা implementation-এর সার্বজনীন নিশ্চয়তা নয়। ছোট sample-এ bootstrap বা অন্য finite-sample পদ্ধতি কাজে লাগতে পারে, তবে resampling design-এও প্রশ্নসংশ্লিষ্ট dependence ও volatility বৈশিষ্ট্য অক্ষুণ্ণ রাখা দরকার।

একটি নির্দিষ্ট \(q\)-এর test জিজ্ঞেস করে নির্বাচিত এক সময়সীমায় variance-scaling restriction মানা হয় কি না। অনেক horizon দেখে পরে \(q\) বেছে নিলে রিপোর্ট করা p-value সেই অনুসন্ধানের হিসাব রাখে না। \(q=2,4,8,16\) পরীক্ষা করে শুধু সবচেয়ে significant ফলটি দেখালে false positive-এর সম্ভাবনা বাড়ে।

একটি joint variance-ratio procedure আগে থেকে নির্ধারিত একাধিক horizon একসঙ্গে পরীক্ষা করে এবং multiple comparison অনুযায়ী সিদ্ধান্ত সমন্বয় করে। অনেক individual ratio-কে আলাদা unadjusted সিদ্ধান্ত হিসেবে নিলে সামগ্রিক Type I error rate অনেক বেড়ে যেতে পারে বলে Chow ও Denning এমন একটি multiple test তৈরি করেন। Joint ফলটি পরীক্ষিত horizon-সমষ্টি সম্পর্কে; কোন lag, mechanism বা market participant বিচ্যুতি তৈরি করেছে তা ব্যাখ্যা করে না।

Sampling frequency ও গবেষণার প্রশ্নের ভিত্তিতে horizon বেছে নিন। এক দিন, এক সপ্তাহ ও এক মাসের তুলনা—প্রতিটিই কার্যকর হতে পারে, কিন্তু প্রতিটির তথ্যসমষ্টি ও overlapping return-এর গঠন আলাদা। সবচেয়ে অনুকূল horizon-টি শুধু নয়, পরীক্ষা করা পুরো তালিকা জানান; exploratory scan ও confirmatory test-কে পৃথক করুন।

Estimated ratio এক-এর বেশি হলে নির্বাচিত lag-গুলোতে ধনাত্মক weighted serial dependence-এর সঙ্গে তা সামঞ্জস্যপূর্ণ। এক-এর কম হলে ঋণাত্মক weighted dependence-এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। কোনো দিকই একা momentum, mean reversion, দামের বিলম্বিত সমন্বয়, inventory effect, bid–ask bounce, nonsynchronous trading বা volatility process-কে অনন্যভাবে শনাক্ত করে না।

বিশেষভাবে, \(\operatorname{VR}(q)<1\) প্রমাণ করে না যে price level stationary। নির্দিষ্ট horizon-এ ratio একের কম হলেও series-এ stochastic trend থাকতে পারে। বিপরীতে, random-walk restriction প্রত্যাখ্যান করলেই stationary mean-reverting alternative প্রমাণিত হয় না; Lo ও MacKinlay তাঁদের গবেষণাধীন equity data-তে প্রত্যাখ্যানের ফল থেকে এমন উপসংহার সমর্থিত হয় না বলে স্পষ্ট লিখেছেন।

পরীক্ষিত বস্তুটি return, log price, excess return, নাকি অন্য কোনো transformed series—তার ওপরও inference নির্ভর করে। Daily close-to-close return-এর ফল intraday quote বা অন্য asset universe-এর জন্য স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রযোজ্য নয়। পরীক্ষিত বস্তু ও ব্যাখ্যা নির্দিষ্টভাবে জানান।

Transaction-price return-এ bid–ask bounce স্বল্প সময়সীমায় ঋণাত্মক dependence তৈরি করতে পারে, এমনকি ধীরগতির economic value process-এ reversal না থাকলেও। কম liquid security-তে quote অসময়ে update হতে পারে, আর বিভিন্ন venue-র close price ভিন্ন তথ্য-সময় ধরতে পারে। এসব বৈশিষ্ট্য সবচেয়ে ছোট horizon-কে বেশি প্রভাবিত করতে পারে। Pattern-টিকে market anomaly বলার আগে quote quality, trading activity, timestamp alignment এবং ধীর sampling interval-এ sensitivity যাচাই করুন।

Return sign বা level-এ স্থিতিশীল দিকনির্দেশক pattern না থাকলেও volatility clustering standard error-কে প্রভাবিত করে। Mean, volatility, trading hour বা market composition-এ structural change থাকলে পুরো sample-এর একটি ratio আলাদা regime-কে একসঙ্গে মিশিয়ে দিতে পারে। Preferred interpretation সমর্থনকারী window-টিই শুধু বেছে না নিয়ে subperiod stability দেখুন।

Asset, frequency, horizon, filter ও sample endpoint খুঁজে বেড়ানোও সমস্যা তৈরি করে: noise-এর ভিত্তিতে নির্বাচন। বিস্তৃত অনুসন্ধানের পরে পাওয়া অস্বাভাবিক variance ratio-কে আগেভাগে নির্ধারিত hypothesis test হিসেবে ধরা যায় না। একটি প্রাথমিক horizon আগে ঘোষণা করুন বা উপযুক্ত joint/resampling method ব্যবহার করুন, তারপর পরবর্তী chronological data-তে আবিষ্কৃত pattern যাচাই করুন।

Variance-ratio test বিভিন্ন horizon-এ return variability-র সারাংশ দেয়। এটি direction, entry, exit, stop, position size, holding time, বা execution-এর আগে signal পাওয়া যাবে কি না নির্ধারণ করে না। Dependence pattern স্থিতিশীল হলেও তা fee, spread, market impact, funding, borrow ও turnover পেরিয়ে লাভজনক হওয়ার মতো বড় নাও হতে পারে।

Trading study-তে ভবিষ্যৎ return দেখার আগে signal ও decision time নির্ধারণ করুন। Formation window-তে parameter estimate করে স্থির রাখুন এবং পরবর্তী observation-এ মূল্যায়ন করুন। অনেক security বা horizon চেষ্টা করে ফল আবিষ্কৃত হলে সত্যিই untouched test period রাখুন বা অনুসন্ধানের হিসাব রাখে এমন পদ্ধতি ব্যবহার করুন। Realistic fill-সহ after-cost ফল baseline-এর সঙ্গে তুলনা করুন; শুধু তাত্ত্বিক return forecast নয়।

Plot, autocorrelation check, unit-root test ও stability analysis-এর পাশাপাশি variance ratio-কে একটি diagnostic হিসেবে ব্যবহার করুন। Variance-scaling থেকে বিচ্যুতি আরও নির্দিষ্ট model তৈরির কারণ হতে পারে, তবে সেই model-এর নিজস্ব assumption ও out-of-sample evidence দরকার। Test-টি একটি moment restriction-এর সংক্ষিপ্ত বিবরণ, কোনো edge থাকার প্রমাণ নয়।

Price-এর সংজ্ঞা, return transformation, observation frequency, sample date, ব্যবহারযোগ্য observation-এর সংখ্যা এবং return overlap করেছে কি না জানান। পরীক্ষা করা প্রতিটি horizon \(q\), sample variance ratio, standard-error version, test statistic, p-value, significance level এবং একাধিক horizon-এর জন্য joint adjustment থাকলে তা রিপোর্ট করুন।

Missing observation, corporate action, market closure ও timestamp কীভাবে সামলেছেন ব্যাখ্যা করুন। Volatility-robust inference, bootstrap, subperiod বা বিকল্প sampling interval-এ ফল বদলেছে কি না জানান। Trading application হলে statistical sample ও evaluation period আলাদা করুন, এবং cost, execution timing, selection rule ও চেষ্টা করা সব asset ও horizon প্রকাশ করুন।

Lo ও MacKinlay তাঁদের variance-ratio specification test পরিচয় করিয়ে দেন এবং এর finite-sample size ও power বিশ্লেষণ করেন। Chow ও Denning ব্যাখ্যা করেন কেন একাধিক variance ratio পরীক্ষায় joint size control দরকার90051-6)। সম্পর্কিত ধারণার জন্য stationarity ও unit root, Engle–Granger cointegration, এবং Johansen cointegration rank test নির্দেশিকা দেখুন।