Чему равны d1 и d2 в формуле Black–Scholes
Поймите формулы d1 и d2, почему N(d1) связана с дельтой колл-опциона, почему N(d2) связана с риск-нейтральной вероятностью истечения in the money, и их пределы.
Короткий ответ
Члены d1 и d2 в формуле Black–Scholes сжимают цену базового актива, страйк, время, волатильность, процентные ставки и дивиденды в стандартизированные координаты. Они удовлетворяют соотношению d2 = d1 − σ√T. Для европейского колл-опциона без дивидендов N(d1) является дельтой, а N(d2) связана с риск-нейтральной модельной вероятностью истечения in the money. Это не две оценки одной и той же вероятности. N(d2) определяет, будет ли уплачен страйк, тогда как N(d1) определяет экспозицию на акции при ином номинале. Ни одно из этих чисел не является прогнозом реального роста, вероятностью касания уровня или вероятностью прибыли с учётом премии.
d1 и d2 используют одни и те же входные данные
d1 объединяет логарифмическую мoneyness (отношение цены актива к страйку), ставку и дивидендный carry, а также половину дисперсии, а затем делит на σ√T.
d2 вычитает σ√T из d1. Когда волатильность и время положительны, d2 всегда меньше d1.
Для времени, годовой волатильности, процентных ставок и дивидендной доходности необходимо согласование конвенций подсчёта дней и сложения.
Их разрыв равен полной волатильности
Величина σ√T измеряет модельный масштаб стандартного отклонения через момент истечения, поэтому бо́льшая волатильность или более длительный срок расширяют разрыв между d1 и d2.
Даже когда цена базового актива равна страйку, carry и член половинной дисперсии означают, что d1 и d2 не обязательно симметричны относительно нуля.
Большие положительные значения указывают на глубоко ITM модельную координату; большие отрицательные значения указывают на глубокое OTM, но не являются полной оценкой торгового решения.
N(d2) определяет уплату страйка
Цену европейского колл-опциона можно записать как термин, взвешенный по акциям, минус дисконтированный термин, взвешенный по страйку.
N(d2) в страйковом термине связана с риск-нейтральной модельной вероятностью того, что терминальная цена превысит страйк и колл-опциона выплатит средства при истечении.
Это утверждение предполагает указанную непрерывную логнормальную модель и carry. Это не эмпирическая оценка реальной частоты.
N(d1) определяет экспозицию на акции и дельту
Для колл-опциона Black–Scholes без дивидендов дельта равна N(d1); при непрерывной дивидендной доходности q она имеет вид e^(−qT)N(d1).
Дельта — это локальное изменение теоретической стоимости опциона при малом изменении цены базового актива при прочих модельных входных данных.
N(d1) связана с весом по акциям как номиналу, что отличает её от вероятности истечения по номиналу наличных, представленной N(d2).
Для путов нужны другие знаки и события
Для европейского пута событие истечения in the money — это терминальная цена ниже страйка, и оно связано с N(−d2) в базовой модели.
Дельта пута без дивидендов равна N(d1)−1; при непрерывных дивидендах она принимает вид e^(−qT)(N(d1)−1).
Не запоминайте формулу для колла и просто переставляйте знаки. Определите событие выплаты отдельно от направления ценовой чувствительности.
Преобразование дельты в вероятность смешивает вопросы
Вопрос о вероятности истечения in the money спрашивает, где окажется цена при истечении; вероятность касания спрашивает, будет ли уровень достигнут в какой-либо момент пути.
Вероятность прибыли включает_entry_премию и точку безубыточности, тогда как физический прогноз может включать риск-премии и субъективные убеждения.
Чтение дельты 0,30 как «30% шанса на прибыль» путает N(d1), N(d2), ценообразование и физические меры, а также пороговые значения выплаты.
Живая поверхность волатильности меняет координаты
Рыночная подразумеваемая волатильность варьируется по страйкам и срокам истечения, поэтому выбранная волатильность и конвенция поверхности меняют d1, d2 и их значения N.
Американский стиль исполнения, дискретные дивиденды, затраты на заначку (borrow) и скачки ослабляют интерпретацию вероятности простой европейской формулы.
Платформенные дельты могут отличаться, потому что модели, котировки, дивиденды и ставки различаются. Отображаемое число неразрывно связано с этими входными данными.
Указывайте и конвенцию, и вопрос
Зафиксируйте цену базового актива, страйк, момент времени, время до истечения, подразумеваемую волатильность, ставки, дивиденды, тип (колл или пут) и стиль исполнения.
При представлении d1, d2 или значений N точно обозначайте дельту и риск-нейтральную модельную вероятность истечения in the money.
Для принятия решения добавьте выплату, точку безубыточности, спред bid-ask, сценарии поверхности и полное реприцирование, а не полагайтесь на одну координату.
Частые вопросы
Какой из d1 или d2 является вероятностью истечения in the money?
В базовой европейской модели риск-нейтральная вероятность истечения in the money колл-опциона связана с N(d2), а не с физическим прогнозом.
Почему дельта колл-опциона равна N(d1), а не N(d2)?
Дельта дифференцирует цену по базовому активу и принадлежит термину, взвешенному по акциям, а не кэшевзвешенному терминалу.
Что происходит с d1 и d2 при росте волатильности?
Их разрыв расширяется, но каждый уровень также зависит от мoneyness, carry и члена половинной дисперсии, поэтому направление не является универсальным.
Можно ли с помощью d2 рассчитать вероятность прибыли от сделки?
Нет. Прибыль зависит от прохождения точки безубыточности с учётом премии, а не просто от завершения выше страйка.