Udział informacyjny Hasbroucka: pomiar odkrywania cen na wielu rynkach

Ten sam papier wartościowy może być notowany na kilku rynkach, a instrumenty ściśle powiązane mogą odzwierciedlać jedną wartość bazową. Obserwowane ceny nie muszą być w każdej chwili identyczne. Notowanie na jednym rynku może zmienić się wcześniej, drugi rynek może zareagować, a następnie obie ceny mogą ustabilizować się wokół wspólnej ścieżki długookresowej. Odkrywanie cen opisuje, jak nowa informacja jest uwzględniana we wspólnej składowej permanentnej. To coś innego niż wolumen obrotu, notowana płynność czy rynek, na którym zawarto ostatnią transakcję.

Udział informacyjny Hasbroucka zaprojektowano z myślą o takim pytaniu. W jego ujęciu powiązane ceny rynkowe mają wspólną, nieobserwowalną cenę efektywną, ale każda obserwowana cena może również zawierać odchylenia przejściowe. Udział rynku to proporcjonalny wkład jego innowacji w wariancję innowacji wspólnej ceny efektywnej (Hasbrouck, 1995). Wynik zależy od określonego układu, próby oraz sposobu konstruowania obserwacji. Nie identyfikuje podmiotu, który pierwszy otrzymał informację, nie dowodzi istnienia kanału przyczynowego i nie pokazuje, że dany rynek wyprzedza inne przy każdym zdarzeniu.

To rozróżnienie ma znaczenie, gdy dany rynek ma większy wolumen lub węższe kwotowania. Takie cechy mogą być związane z odkrywaniem cen, ale udział informacyjny mierzy modelowy wkład w trwałe zmiany ceny. Rynek może mieć duży wolumen, podczas gdy inny wnosi większy wkład w innowacje zmieniające wspólną cenę długookresową.

Niech p_t oznacza wektor zaobserwowanych cen na d rynkach, na których notuje się ten sam składnik aktywów lub ekonomicznie równoważne roszczenia. Typowe ujęcie mikrostruktury zakłada, że poziomy cen są niestacjonarne, często I(1), a arbitraż sprawia, że różnice cenowe pozostają stacjonarne w długim okresie. Dla dwóch rynków i jednego wspólnego trendu istnieje jedna relacja kointegrująca, zwykle znormalizowana różnica cen. Ogólniej, d powiązanych cen z jednym wspólnym trendem stochastycznym ma rząd kointegracji d−1.

To założenie empiryczne, które trzeba sprawdzić, a nie tożsamość wynikająca z faktu, że na dwóch ekranach widnieje ten sam ticker. Ceny mogą różnić się ze względu na warunki kontraktu, walutę, finansowanie, dywidendy, dostawę albo utrzymującą się bazę. Relacja może się także zmienić po migracji na inny rynek, zmianie opłat, reformie struktury rynku lub zmianie definicji danych. Jeśli w wybranej próbie zaobserwowane szeregi nie mają zakładanej relacji długookresowej, dekompozycja ceny efektywnej i wyliczone udziały nie mają zamierzonej interpretacji.

Kointegracja i korekta błędem łączą stacjonarną relację długookresową z modelem krótkookresowych zmian cen (Engle i Granger, 1987). VECM jawnie przedstawia tę strukturę. Oddziela przejściowe dostosowania wokół ceny wspólnej od innowacji, które mogą wpływać na składową długookresową.

<!-- learn:illustration --> <!-- Ilustracja bez tekstu: dwie ścieżki cen z różnych rynków wahają się wokół jednej wspólnej, gładszej ścieżki długookresowej, z przejściowymi odchyleniami na poziomie poszczególnych rynków. Bez danych rynkowych, diagramu przyczynowego ani prognozy. -->

Dla d szeregów cen VECM można zapisać jako

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Tutaj β rozpina relacje kointegrujące, α zawiera współczynniki dostosowania, Γ_j opisuje krótkookresową dynamikę opóźnień, a ε_t jest wektorem innowacji postaci zredukowanej z macierzą kowariancji Ω. W typowym przypadku jednej ceny efektywnej długookresowy wpływ tych innowacji można podsumować wektorem wierszowym ψ. Przyrost ceny permanentnej wynosi

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

z uwzględnieniem przyjętej normalizacji modelu i składników deterministycznych. Całkowita wariancja tego przyrostu to

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

Wektor ψ wynika z reprezentacji długookresowej oszacowanego układu; nie jest po prostu współczynnikiem dostosowania α ani wektorem kointegrującym β. Krótkookresowe zmiany cen mogą być duże, lecz przejściowe, podczas gdy mniejsza innowacja może mieć większe znaczenie dla odkrywania cen, jeśli jej wpływ pozostaje w wspólnej składowej permanentnej.

Należy określić wspólny trend i jego normalizację. Pomnożenie reprezentacji ceny efektywnej przez stałą zmienia jednostki ψ i wariancję ceny wspólnej, ale znormalizowane udziały informacyjne pozostają bez zmian. Jeśli układ ma więcej niż jeden wspólny trend stochastyczny, jedna skalarna cena efektywna nie wystarczy; badacz musi wskazać, która składowa permanentna lub kombinacja liniowa jest dekomponowana.

Jeśli innowacje rynkowe są nieskorelowane, Ω jest macierzą diagonalną. Wówczas wkład każdego rynku w wariancję ceny permanentnej można bezpośrednio wyodrębnić:

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

Wzór ten waży długookresowy wpływ rynku wariancją jego własnej innowacji. Rynek może otrzymać większy udział informacyjny, gdy innowacja cenowa ma większy trwały wpływ albo gdy wariancja tej innowacji jest większa. Nie wystarczy porównać bezwzględnych wartości współczynników dostosowania VECM.

Gdy innowacje są skorelowane w tym samym momencie, całkowita wariancja zawiera wyrazy kowariancji. Na podstawie samej Ω nie ma jednego sposobu przypisania tych wspólnych składników poszczególnym rynkom. Hasbrouck stosuje faktoryzację Cholesky’ego Ω=FF^T, aby otrzymać ortogonalne innowacje. Przy wybranej kolejności zmiennych udział przypisany ortogonalnemu szokowi i wynosi

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

Faktoryzacja ortogonalizuje szoki, ale jej trójkątna struktura daje zmiennym wcześniejszym w kolejności pierwszeństwo w przejmowaniu wspólnej wariancji z tego samego momentu. Kolejność jest konwencją podziału w dekompozycji, a nie dowodem na ekonomiczną hierarchię przepływu informacji.

Jeśli innowacje dwóch rynków są silnie skorelowane, ponieważ ich ceny aktualizują się w tym samym przedziale próbkowania, dane nie pozwalają łatwo ustalić, na którym rynku innowacja pojawiła się pierwsza. Dekompozycja Cholesky’ego przypisuje ich wspólny ruch inaczej w zależności od tego, który rynek zostanie ustawiony jako pierwszy. Procedura Hasbroucka wyznacza dolną granicę, umieszczając rynek na końcu, i górną, umieszczając go na początku, dla odpowiednich kolejności.

Te granice odpowiadają na uczciwsze pytanie niż pojedyncza, wygodnie wybrana kolejność: jak bardzo udział danego rynku może się zmienić przy dopuszczalnych rekurencyjnych podziałach skorelowanych innowacji? Wąskie granice wskazują, że ten konkretny problem kolejności ma niewielki wpływ w oszacowanej próbie. Szerokie granice oznaczają, że podział udziału między rynki jest słabo identyfikowany na podstawie jednoczesnych innowacji cenowych. Czasem podaje się wartość środkową, ale nie jest to jednoznacznie zidentyfikowane oszacowanie i nie powinna zastępować granic ani jawnie podanej kolejności.

Częstsze próbkowanie może ograniczyć pozorną korelację jednoczesną, jeśli jeden rynek aktualizuje się przed drugim, lecz nie gwarantuje korelacji równej zeru. Rzadkie próbkowanie ukrywa sekwencję aktualizacji cen; bardzo gęste może uwzględniać nieaktualne obserwacje i problemy z asynchronicznymi kwotowaniami. Należy podać zarówno regułę próbkowania, jak i wrażliwość na kolejność.

Załóżmy wyłącznie na potrzeby ilustracji, że oszacowany VECM implikuje znormalizowany wektor wpływu na cenę permanentną ψ=(0.6,0.4). Niech macierz kowariancji innowacji postaci zredukowanej wynosi

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

Innowacje mają wariancję równą jeden i korelację 0.8. Całkowita wariancja innowacji ceny permanentnej wynosi

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

Ustawmy Rynek A jako pierwszy. Dolnotrójkątna faktoryzacja Cholesky’ego ma postać

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

Wynikowe udziały to A: \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\) oraz B: \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\). Odwróćmy kolejność i ustawmy B jako pierwszy. Te same obliczenia przypisują wtedy około 85.7% do B i 14.3% do A. Granice wynikające z kolejności wynoszą zatem około 14.3%–93.6% dla A i 6.4%–85.7% dla B. W obrębie każdej pojedynczej kolejności udziały sumują się do 100%; oddzielne dolne lub górne granice dla różnych rynków nie muszą sumować się do 100%.

Wszystkie wartości są hipotetyczne: wektor wpływu VECM, jednostkowe wariancje innowacji i korelację 0.8 wybrano wyłącznie po to, aby można było odtworzyć rachunki. Przykład nie opisuje wyników żadnej giełdy, aktywa ani próby. Pokazuje, jak skorelowane innowacje mogą sprawić, że pozornie precyzyjny ranking rynków silnie zależy od kolejności Cholesky’ego.

Dekompozycja Gonzalo–Grangera konstruuje składową permanentną jako znormalizowaną kombinację liniową obserwowanych cen. W VECM z macierzą dostosowań α wagi wspólnego czynnika należą do dopełnienia ortogonalnego α: wektor wag w spełnia α^T w=0, a dodatkowa normalizacja może wymagać, by wagi sumowały się do jedności. Wynikowy wspólny czynnik w długim okresie nie reaguje na składniki korekty błędem. Gonzalo i Granger opracowali tę dekompozycję składowych permanentnych i przejściowych dla układów skointegrowanych (Gonzalo i Granger, 1995).

Te wagi składowej opisują sposób tworzenia poziomu wspólnej ceny z cen na poszczególnych rynkach. Z kolei udziały informacyjne Hasbroucka mierzą wkład każdego rynku w wariancję innowacji wspólnej ceny permanentnej. Miary mogą być zbliżone, ale udział informacyjny uwzględnia także wariancję innowacji każdego rynku. Porównanie de Jonga oraz analiza Bailliego, Bootha, Tse i Zabotiny wyjaśniają, dlaczego miary mogą być podobne przy nieskorelowanych innowacjach i rozbieżne, gdy innowacje są skorelowane lub mają różne wariancje (de Jong, 200200028-9); Baillie i in., 200200027-7)).

Powyższe hipotetyczne dane wejściowe \(\psi\) i \(\Omega\) nie wyznaczają wag komponentu Gonzalo–Grangera. Zależą one od macierzy dostosowania \(\alpha\) w VECM i jawnie podanej normalizacji. Same dane z dekompozycji wariancji nie pozwalają obliczyć liczbowych wag komponentu. To kluczowa różnica: wagi komponentu tworzą cenę trwałą z cen obserwowanych, a information shares Hasbroucka dekomponują wariancję jej innowacji.

Szeregi cenowe powinny opisywać porównywalne roszczenia i być zsynchronizowane według uzasadnionej osi czasu. Określ, czy obserwacja jest ceną transakcyjną, środkiem kwotowania czy inną miarą oferty; jak obsługujesz kwotowania zablokowane lub skrzyżowane, nieaktualne ceny, aukcje, zamknięcia rynków i komunikaty poza kolejnością; oraz czy oba rynki są otwarte w okresie próby. Dla kontraktów futures opisz rolowanie kontraktów i różnice w dostawie. Przed estymacją VECM uzgodnij waluty, działania korporacyjne i jednostki dla instrumentów notowanych w kilku miejscach.

Asynchroniczne obserwacje są istotnym problemem. Jeśli notowanie na jednym rynku aktualizuje się o 10:00:00.100, a na drugim o 10:00:00.700, siatka próbkowania co sekundę może sprawić, że sekwencyjna reakcja będzie wyglądała na jednoczesną; rzadsza siatka może jeszcze bardziej ją zamazać. Bardzo gęsta siatka może natomiast przenosić nieaktualne ceny i tworzyć sztuczne wzorce wyprzedzania i opóźniania. Podaj częstotliwość próbkowania, regułę synchronizacji, filtry kwotowań oraz wrażliwość na rozsądne warianty. Krótsze interwały mogą ograniczyć korelację wywołaną agregacją, ale nie eliminują rzeczywistych wspólnych szoków, jednoczesnych aktualizacji ani błędów znaczników czasu.

Wynik zależy także od liczby opóźnień, składników deterministycznych, dat początku i końca próby oraz stabilności strukturalnej. Zbyt mała liczba opóźnień może pozostawić zależność szeregową w innowacjach VECM; zbyt duża zwiększa szum estymacji. Zmiana zasad rynku albo godzin handlu może zmienić proces dostosowań. Korzystaj z diagnostyki reszt i miar niepewności, a także rozważ bootstrap, który ponownie estymuje cały VECM i granice udziałów. Mały błąd standardowy warunkowy względem jednej specyfikacji nie obejmuje niepewności dotyczącej wyboru modelu i danych.

Udział informacyjny określa, jak innowacje z każdej modelowanej lokalizacji obrotu wnoszą wkład w oszacowaną wariancję ceny permanentnej w ramach określonego VECM i ortogonalizacji. Wysoki udział nie dowodzi, że dany rynek wytworzył wiadomość, porusza się pierwszy przy każdym zdarzeniu ani przewiduje kolejny zwrot. Wspólna informacja może docierać na rynki niemal jednocześnie, a tarcia rynkowe i czas obserwacji wpływają na zmierzony podział.

Nie jest to także bezpośrednia miara jakości rynku. Rynek może współtworzyć cenę wspólną, a jednocześnie charakteryzować się szerokim spreadem, małą widoczną głębokością lub wysokimi kosztami realizacji. Inny rynek może oferować tanią płynność i wnosić mniejszy wkład w innowację ceny permanentnej w wybranej próbie. Estymator spreadu Rolla wykorzystuje autokowariancję stóp zwrotu do oszacowania innego zjawiska, a nierównowaga przepływu zleceń podsumowuje zmiany widocznych kolejek zleceń, nie wariancję długookresowych innowacji.

Analiza udziału informacyjnego uzasadniająca tezę transakcyjną musi stanowić część wcześniej określonego, pozapróbkowego testu strategii obejmującego opłaty, spread bid–ask, opóźnienie, poślizg cenowy, wpływ na rynek i dostęp do rynku. Przewodnik Engle’a–Grangera opisuje alternatywę kointegracji w pojedynczym równaniu, a przewodnik po rzędzie Johansena omawia rząd kointegracji układu. Ani kointegracja, ani wysoki udział informacyjny nie dowodzą, że reguła przynosi zysk.