Test kointegracji Johansena: rząd, test śladu i maksymalnej wartości własnej

Załóżmy, że \(y_t\) zawiera \(k\) zmiennych, z których każdą traktuje się jako \(I(1)\) w ramach określonego procesu generującego dane. Rząd kointegracji \(r\) to liczba liniowo niezależnych kombinacji ich poziomów, które są stacjonarne. Gdy \(r=0\), model nie znajduje takiej kombinacji w ramach tej specyfikacji. Gdy \(0<r<k\), istnieje \(r\) niezależnych relacji długookresowych, a w typowych warunkach dla układu \(I(1)\) pozostaje \(k-r\) wspólnych trendów stochastycznych. Rząd równy jeden oznacza jedną relację obejmującą cały układ, a niekoniecznie oczywistą parę aktywów.

To pytanie dotyczy całego układu. Dwuetapowa procedura Engle’a–Grangera szacuje jedno znormalizowane równanie długookresowe, a następnie testuje jego oszacowaną resztę. Metoda największej wiarygodności Johansena szacuje i testuje natomiast wymiar przestrzeni kointegrującej w wektorowym modelu autoregresyjnym, dzięki czemu może opisywać więcej niż jedną niezależną relację. Metody odpowiadają na powiązane, lecz różne pytania i mogą dawać odmienne wyniki w próbach skończonych lub przy innych specyfikacjach opóźnień i składników deterministycznych.

VAR w poziomach można przekształcić do uproszczonej postaci wektorowego modelu korekty błędem; pomijamy tu składniki deterministyczne:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Tutaj \(p\) oznacza rząd opóźnienia VAR w poziomach. Kolumny \(\beta\) opisują kombinacje długookresowe, a \(\alpha\) zawiera współczynniki dostosowania, które łączą wcześniejsze odchylenie od równowagi z bieżącymi zmianami. Jeśli macierz \(\Pi\) ma rząd \(r\), można ją rozłożyć na macierze \(\alpha\) i \(\beta\) o wymiarach \(k\times r\). To rząd, a nie sama liczba zmiennych, określa, ile składników korekty błędem wchodzi do układu.

Jeśli wszystkie \(k\) szeregi rzeczywiście są \(I(1)\), w typowych przypadkach kointegracji \(r<k\). Wynik pełnego rzędu wskazuje, że poziomy są stacjonarne wokół składników deterministycznych dopuszczonych w oszacowanej specyfikacji, i powinien skłonić do ponownego sprawdzenia pierwotnego założenia o rzędzie integracji. Rząd zero nie dowodzi, że zmienne nie są ze sobą w żaden sposób powiązane; oznacza, że wybrany model nie znalazł stacjonarnej kombinacji poziomów przy testowanym rzędzie.

Uporządkujmy oszacowane wartości własne tak, aby \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). Pochodzą one z problemu redukcji rzędu w procedurze największej wiarygodności i nie są zwykłymi udziałami wyjaśnionej wariancji. Dla kandydującego rzędu \(r\) statystyka testu śladu wynosi

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

i testuje \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) przeciwko \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). Łączy informacje z pozostałych wartości własnych. Statystyka testu maksymalnej wartości własnej wynosi

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

i porównuje rząd \(r\) z kolejnym rzędem \(r+1\). Test śladu pyta więc, czy łączna liczba relacji przekracza \(r\), a test maksymalnej wartości własnej — czy dane uzasadniają dodanie kolejnej relacji. Żadna ze statystyk przy tej hipotezie zerowej o rzędzie nie ma zwykłego rozkładu odniesienia chi-kwadrat.

Wyobraźmy sobie układ trzech zmiennych, 200 użytecznych obserwacji i uporządkowane oszacowane wartości własne \(0.16\), \(0.05\) oraz \(0.01\). To zmyślone liczby do celów edukacyjnych, a nie oszacowania rynkowe. Przy \(r=0\) test śladu sumuje wszystkie trzy składniki i daje około \(47.14\), natomiast test maksymalnej wartości własnej wykorzystuje tylko pierwszy składnik i daje około \(34.87\). Przy \(r=1\) odpowiednie wyniki to około \(12.27\) i \(10.26\); przy \(r=2\) oba testy wykorzystują ostatnią wartość własną i dają około \(2.01\).

Obliczenia dostarczają statystyk testowych, a nie decyzji o rzędzie. Aby podjąć decyzję, porównaj każdą statystykę z wartościami krytycznymi lub wartościami p właściwymi dla dokładnej specyfikacji składników deterministycznych i sekwencji testów. Na przykład informacja w tabeli programu „odrzuć przy \(r=0\)” jest dowodem przeciwko zerowemu rzędowi wyłącznie przy założeniach tej tabeli i wybranym poziomie istotności; nie jest bezpośrednim prawdopodobieństwem stacjonarności konkretnego spreadu aktywów. Wartość p powyżej progu oznacza, że nie odrzucamy hipotezy zerowej o danym rzędzie, a nie że ją udowodniliśmy.

Zanim zinterpretujesz rząd, wybierz uzasadniony rząd opóźnienia VAR. VAR w poziomach rzędu \(p\) odpowiada \(p-1\) opóźnionym różnicom w VECM. Zbyt mała liczba opóźnień może pozostawić autokorelację w resztach; zbyt duża zużywa stopnie swobody i może destabilizować wnioskowanie w próbie skończonej. Kryteria informacyjne pomagają uporządkować kandydatów, ale znaczenie mają także diagnostyka reszt, wielkość próby i ekonomiczna chronologia. Podaj sposób wyboru rzędu i sprawdź rozsądne alternatywy.

Zdecyduj, gdzie występują stałe i trendy: poza relacją kointegrującą, z ograniczeniami wewnątrz niej albo wcale w przyjętym modelu. Te przypadki oznaczają różne dynamiki długookresowe i różne rozkłady testów rzędu. Dobierz specyfikację do pytania i danych, a nie przez wyszukiwanie najkorzystniejszej wartości p. Korzystaj z wartości krytycznych dopasowanych do dokładnej specyfikacji deterministycznej, liczby zmiennych i implementacji. Statystyki rzędu Johansena mają niestandardowe rozkłady. MacKinnon, Haug i Michelis obliczają za pomocą powierzchni odpowiedzi rozkłady dla określonych testów ilorazu wiarygodności typu Johansena, w tym dla rozszerzenia dopuszczającego egzogeniczne zmienne \(I(1)\). Ich wartości nie dotyczą automatycznie każdej konfiguracji testu rzędu.

Umiejscowienie składnika deterministycznego nie jest kosmetyczną opcją oprogramowania. W typowych parametryzacjach stała ograniczona do relacji kointegrującej pozwala, aby dana kombinacja równowagi miała średnią różną od zera; nieograniczona stała poza tą relacją może dopuszczać inny dryf deterministyczny poziomów. Ograniczenia dotyczące trendu również zmieniają przyjętą ścieżkę długookresową. Tabela informująca jedynie o „uwzględnieniu stałej” jest niepełna, jeśli nie podaje, gdzie ta stała występuje. Sprawdź równanie modelu i opisz każde ograniczenie.

Przestrzeń kointegrująca jest głównym przedmiotem estymacji. W modelu o rzędzie jeden pomnożenie wektora \(\beta\) przez niezerową stałą nie zmienia tego, która kombinacja poziomów jest stacjonarna. Dlatego analityk wybiera normalizację, na przykład ustala jeden współczynnik na jeden. Przy wyższym rzędzie wiele baz może rozpinać tę samą przestrzeń; wektory wyświetlane przez oprogramowanie nie są automatycznie unikatowymi relacjami ekonomicznymi. Interpretacja konkretnego wektora wymaga ograniczeń lub dodatkowej teorii, a normalizację należy podać.

Macierz dostosowania \(\alpha\) opisuje, które zmienne reagują na nierównowagę w oszacowanym układzie. Jej znak zależy od wybranej normalizacji, a jej elementy są warunkowymi współczynnikami układu, nie samodzielnymi efektami przyczynowymi. Mały lub zerowy ładunek dostosowania może skłaniać do zbadania hipotezy słabej egzogeniczności, ale wymaga to odpowiednich formalnych ograniczeń i przyjętego modelu. Sam rząd kointegracji nie wskazuje, która zmienna „przewodzi”, która relacja ma znaczenie ekonomiczne ani jak szok wpłynie na przyszłe ceny.

Brak jednoznaczności wynika z samej faktoryzacji, a nie tylko ze sposobu wyświetlania wyników. Dla nieosobliwej macierzy \(H\) macierze \(\beta H\) i \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) dają tę samą macierz długookresową \(\Pi\). Można więc zidentyfikować oszacowaną przestrzeń, choć konkretny zestaw wyświetlonych wektorów nie musi być jednoznaczny. Wybór jednego wektora jako spreadu do handlu wymaga jawnej normalizacji lub ograniczenia ekonomicznego; jednostki i ryzyko trzeba przeanalizować osobno.

Zwykle testuje się kolejne rzędy, zaczynając od zera i przechodząc wyżej aż do pierwszej hipotezy zerowej, której nie odrzucamy. Wybrany rząd jest decyzją modelową zależną od przyjętego poziomu istotności i specyfikacji. Jeśli wyniki testu śladu i testu maksymalnej wartości własnej różnią się, przedstaw oba i zbadaj długość opóźnień, składniki deterministyczne, niską moc, załamania strukturalne i wrażliwość na próbę zamiast ukrywać rozbieżność.

Wartości krytyczne testów ilorazu wiarygodności są niestandardowe i zależą od specyfikacji układu. Zachowanie bliskie pierwiastkowi jednostkowemu, krótkie próby, obserwacje odstające, zmiany reżimu, zmienne \(I(2)\) lub egzogeniczne zintegrowane regresory mogą sprawić, że proste założenie \(I(1)\) będzie nieodpowiednie. Standardowa tabela rzędu nie obejmuje automatycznie tych przypadków. Pierwotne prace Johansena rozwijają wnioskowanie największej wiarygodności przy założeniach gaussowskiego VAR; późniejsze obliczenia powierzchni odpowiedzi dostarczają rozkładów odniesienia dla określonych specyfikacji testu, a nie dla każdego możliwego problemu z danymi.

Jeśli na przykład test śladu odrzuca \(r=0\) i \(r=1\), ale nie odrzuca \(r=2\), typowa sekwencja wybiera rząd dwa przy tej specyfikacji i poziomie istotności. Nie oznacza to, że prawdopodobieństwo prawdziwości rzędu dwa wynosi jeden. Sekwencja testu maksymalnej wartości własnej porównuje hipotezy zerowe dla sąsiednich rzędów, dlatego należy pokazać również jej decyzje. Nie stosuj wartości krytycznej jednego testu do statystyki drugiego.

Wybrany rząd zależy także od okresu próby. Zmiany relacji ekonomicznej, struktury rynku lub definicji zmiennych mogą prowadzić do różnych oszacowań wczesnych i późnych podprób. Analiza wrażliwości może ujawnić tę niestabilność, ale przeszukiwanie wielu punktów końcowych tworzy dodatkowy problem wielokrotnego testowania. Wyjaśnij, które okna zaplanowano z góry, a podziały nieplanowane traktuj jako dowód eksploracyjny.

W badaniu strategii transakcyjnej oszacowany wektor \(\beta\) może być kandydatem na definicję spreadu, ale sam rząd nie określa poziomów wejścia i wyjścia, wielkości pozycji ani oczekiwanych stóp zwrotu. Jeśli istnieje kilka wektorów kointegrujących, wybór jednej kombinacji może wymagać normalizacji, ograniczeń i selekcji danych. Nawet przy oszacowanej relacji statystycznej wagi mogą oznaczać krótką sprzedaż, dźwignię lub niską płynność.

Oszacuj układ wyłącznie na podstawie informacji dostępnych w każdym momencie podejmowania decyzji i chronologicznie sprawdź cały proces selekcji oraz ponownej estymacji. Zbadaj stabilność relacji poza próbą i w razie potrzeby uwzględnij dywidendy, rolowanie kontraktów, przeliczenia walut, finansowanie, dostępność pożyczki papierów, spready bid-ask, wpływ na rynek oraz czas realizacji. Odrzucenie hipotezy zerowej o rzędzie jest dowodem dotyczącym określonego modelu, a nie twierdzeniem o rentowności. Przewodnik po teście Engle’a–Grangera i korekcie błędem opisuje alternatywę jednorównaniową, a kointegracja a korelacja w pairs tradingu wyjaśnia, dlaczego korelacja jest inną własnością.

Wskaż \(k\) zmiennych, transformacje, częstotliwość obserwacji, daty próby i dowody dotyczące rzędu integracji. Podaj rząd opóźnienia VAR w poziomach, umiejscowienie składników deterministycznych, efektywną wielkość próby, statystyki testu śladu i maksymalnej wartości własnej, dopasowane wartości krytyczne lub wartości p, poziom istotności i sekwencyjne decyzje o rzędzie. Poinformuj, czy oba testy dały zgodne wyniki, jaki rząd wykorzystano w dalszej analizie i które kontrole wrażliwości zmieniły wynik.

Przedstawiając wektory, podaj normalizację, ograniczenia i odpowiadające im ładunki dostosowania. W zastosowaniu transakcyjnym ujawnij, jakie dane były dostępne podczas każdego rebalansowania, regułę wyboru wektorów, schemat testu poza próbą, koszty i sposób postępowania z niepowodzeniami. Analiza wektorów kointegrujących Johansena z 1988 r.90041-3) rozwija podejście największej wiarygodności do przestrzeni kointegrującej i jej rzędu. Jego opracowanie z 1991 r. dotyczące gaussowskich VAR omawia wnioskowanie o rzędzie oraz hipotezy dotyczące wektorów. MacKinnon, Haug i Michelis przedstawiają rozkłady wyznaczone metodą powierzchni odpowiedzi dla testów ilorazu wiarygodności kointegracji. Inne przewodniki wyjaśniają stacjonarność i pierwiastki jednostkowe.