DCC-GARCH：資産間の時変相関を推定する方法

共分散行列は、長期的な関係を並べた表にとどまりません。ある時点で意思決定を行う投資家は、その時点までに得られた情報を条件として、各リターンの条件付き分散とすべての資産ペアの条件付き共分散を必要とすることがあります。ボラティリティや連動性が時間とともに変化する場合、全期間で推定した一つの行列には、平穏期、ストレス期、構造変化の可能性が混在します。

DCC-GARCHは、モデルを比較的簡潔に保ちながら条件付き相関行列を変化させる方法の一つです。Robert Engleは2002年の論文で、単変量ボラティリティモデルと少数パラメータの相関再帰過程を組み合わせた動的条件付き相関の仕様を提案しました（Engle, 2002）。資産数が増えるほど完全に自由な共分散モデルのパラメータ数も増えるという、実務上のスケーリング問題に対応する考え方です。

各系列固有の変動するボラティリティを考慮したうえで、条件付き依存関係がどう変わるかを問う場合に有用です。ただし、資産がなぜ同時に動くかまでは説明しません。1系列の時変分散の基本についてはボラティリティ・クラスタリングとGARCHのガイド、FXペアの相関とそれを共通エクスポージャーと解釈する際の限界については為替ペア相関のガイドを参照してください。

資産数を \(N\)、リターンベクトルを \(r_t\)、条件付き平均を \(\mu_t\) とし、イノベーションを \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) とします。DCCでは条件付き共分散行列を次のように分解します。

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

ここで \(\mathcal{F}_{t-1}\) は時点 \(t\) の観測前に利用できる情報、\(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) は資産ごとの条件付き標準偏差を並べた対角行列、\(R_t\) は条件付き相関行列です。

各 \(\sigma_{i,t}^2\) は、単変量GARCH系の式でモデル化できます。たとえば、

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

この周辺モデルが答えるのは、資産 \(i\) のイノベーションの規模が自身の過去に応じてどう変わるかです。資産 \(j\) との相関も変化するとは示しません。逆に、\(R_t\) が変化しても、どちらかの資産のボラティリティが上昇しているとは限りません。

共分散には両方の変化が含まれます。

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

\(\rho_{ij,t}\) が一定でも、片方または両方の周辺ボラティリティが上がれば共分散は増えます。DCCは周辺ボラティリティを分けた後に残る条件付き相関の時変性を推定しようとします。これは各資産に独立したGARCHを当てはめ、生のリターン共分散を一定と扱う方法との主要な違いです。

条件付き平均と周辺分散を推定した後、イノベーションを標準化します。

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

周辺モデルが適切なら、\(z_t\) の各成分の条件付き分散はおおむね1になるはずです。それでも同じ時点で成分同士が依存することはあり、その同時パターンが相関更新に使われます。標準化すると、もともとボラティリティの高い資産の大きな生リターンが、別の資産で観測された同程度の標準化ショックより強い依存の証拠として自動的に扱われることを防げます。

実務で使う標準化残差は、直接観測された真実ではなく推定値です。平均モデルが不適切だと \(\epsilon_t\) に予測可能な構造が残ることがあり、ボラティリティモデルが不適切だと \(z_t\) に変化する規模が残ることがあります。こうした問題が相関推定段階に吸収され、\(R_t\) を歪める可能性があります。裾の厚い分布、外れ値、欠損日、取引時間の不一致、コーポレートアクション、古い価格も再帰過程に渡す残差に影響します。

EngleとSheppardは、まず単変量GARCHを推定し、次にその標準化残差から相関パラメータを推定する2段階法を説明しています（Engle and Sheppard, 2001）。周辺モデルを分けて推定できるためDCCは実用的ですが、第2段階の相関推定値は第1段階の仕様と入力系列の厳密な時点合わせを条件とした値です。

標準DCCの再帰式は、まず補助的な正定値行列 \(Q_t\) を更新します。

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) は標準化イノベーションの長期行列、\(a\) は直近の連動が更新に反映される強さ、\(b\) は前時点の \(Q\) から引き継ぐ持続性を表します。一般的なスカラー型DCCでは、非負の \(a,b\) と \(a+b<1\) に加えて、正定値の \(\bar Q\) と初期値を用いると、通常の再帰行列の正定値性が保たれます。厳密な定常性や妥当な推論は、モデル全体とその仮定にも依存します。この制約は選んだ仕様のものであり、すべての派生モデルに共通する保証ではありません。

\(Q_t\) の対角要素は通常1ではないため、\(Q_t\) 自体は相関行列ではありません。\(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) と置いて、次のように正規化します。

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

この操作で対角が1となり、非対角要素は尺度のない条件付き相関になります。条件付き共分散は \(H_t=D_tR_tD_t\) です。\(Q_t\)、\(R_t\)、\(H_t\) を区別すると、再帰が更新するのは補助依存行列、正規化が相関、周辺標準偏差との組み合わせがリターン尺度の共分散、という役割を取り違えにくくなります。この正規化はEngle (2002)の手法の中心です。

<!-- learn:illustration --> <!-- 文字のない概念図：ボラティリティ幅の異なるリターンの流れが、なめらかに変化する共通の依存リボンにつながる。市場データや予測ではない。 -->

一般的な2段階実装では、まず各資産の条件付き平均と単変量GARCH系分散を推定します。そのモデルで \(z_t\) を計算し、尤度または準尤度の相関部分からDCCパラメータを推定します。リターンが正規分布でなくても第1段階でガウス尤度を準最尤法として使える場合はありますが、適切な正則条件が必要です。標準誤差と推論方法は、実際に使った推定量と仮定に合わせなければなりません。

段階を分けると、制約のない多変量GARCH全体を推定するより計算しやすくなります。一方で、周辺パラメータの不確実性は標準化残差に影響し、第2段階の推定にも伝わります。推定された \(a\) や \(b\) は不変の市場定数を直接測った値ではありません。標本、周辺モデル、初期値、分布仮定、相関動学の安定性によって解釈が変わります。

長期入力 \(\bar Q\) は標準化残差の標本共分散に基づくことが多いものの、正確な定義や補正は実装ごとに異なります。\(\bar Q\) の推定法、\(Q_0\) の初期化、欠損値の扱い、制約条件、尤度計算を明記する必要があります。\(a+b=1\) に近い最適化、ほぼ特異な \(\bar Q\)、大きすぎる資産集合は数値的不安定を招くことがあります。収束診断を報告し、妥当な別の周辺仕様や期間でも結果が変わらないか確認しましょう。

取引時刻が不規則なデータでは、サンプリング設計を慎重に決めずに標準DCCの同期リターンを使うのは適切でない場合があります。非同期観測への対応には別の推定量が必要となることがあり、Hayashi–Yoshida共分散のガイドが関連します。ノイズの多い共分散ターゲットを縮小するLedoit–Wolf共分散縮小のガイドも別の処理であり、DCCの動的相関再帰とは区別します。

2資産の標準化イノベーションと、説明用に作ったDCC更新を考えます。\(a=0.05\)、\(b=0.90\)、\(\bar q_{12}=0.10\)、\(q_{12,t-1}=0.30\)、\(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\) とします。これらは計算を示すための仮定値であり、市場データからの推定値ではありません。非対角要素は次のように更新されます。

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

正規化も示すため、仮の対角値を \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\)、\(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\) とします。同じ再帰式から

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1 \]

となるので、正規化後の相関は

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340 \]

です。補助行列の非対角要素は0.30から0.35になりましたが、\(Q_t\) の対角も変化したため、報告する相関は約0.34です。正規化を飛ばして \(q_{12,t}=0.35\) を相関と呼ぶのは誤りです。この計算が示すのは再帰の1ステップにすぎず、統計的有意性、将来の持続性、最適ポートフォリオウェイト、売買価値を示すものではありません。

標準DCCが簡潔なのは、一般に同じスカラーの反応・持続パラメータをすべてのペアに適用するためです。資産が多い場合には有用な制約ですが、ペアごとに調整速度が違う場合には強すぎることがあります。また、DCCという名称でもパラメータ化、制約、推定法、初期化の慣例が異なることがあるため、どの仕様かを示す必要があります。

Aielliの補正DCCの研究は、クロスセクションの規模が大きくなると従来のDCC推定量や相関パラメータの解釈に問題が生じ得ることを示し、再帰を変更したcDCCを提案します（Aielli, 2013）。cDCCは標準DCCの別名ではありません。多数の資産に拡張する場合や推定係数を構造的に解釈する場合に、この違いが重要です。

非対称一般化DCC仕様は、正負の標準化ショックが将来の相関に異なる影響を与える可能性に対応します。Cappiello、Engle、SheppardのAG-DCCモデルは、系列ごとに異なるニュース影響・平滑化パラメータに加え、条件付き相関の非対称性も認めます（Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006）。AG-DCCは共通スカラーの標準DCCより柔軟ですが、パラメータ数、制約、解釈も変わります。評価なしに標準DCCと黙って置き換えたり、常に優れていると見なしたりしてはいけません。

推定された \(R_t\) が表すのは、選んだデータ頻度、標本期間、平均モデル、周辺ボラティリティモデル、DCCの派生仕様の下でモデルが示す条件付き相関です。因果的な波及を特定するものではありません。下落期に推定相関が上がっても、共通ニュース、構成銘柄の変化、流動性、ボラティリティモデルの誤特定など複数の仕組みが考えられ、推定値だけでは区別できません。

リスク測定では、動的共分散予測を、ローリング標本共分散や一定相関モデルなどの妥当な基準と比較します。各予測起点でその時点までに利用可能な情報のみを使い、資産集合と予測期間を揃え、損失関数も報告します。ポートフォリオに使うなら、ウェイト、集中度、売買回転率、資金調達、取引コストへの影響も追跡してください。特定のリスクモデルでは相関上昇で分散効果が低下し得ますが、両資産の価格が下がるという予測ではありません。

推定相関が妥当な範囲に収まっているか、含意される \(R_t\) が正定値か、周辺標準化残差に系列相関や時変分散が残っていないかを確認します。資産集合、初期化、外れ値、期間、モデル仕様を変えた感度も調べます。持続性が1に近いと構造変化への反応が遅くなり、滑らかな再帰は急なレジーム転換に追いつかないことがあります。複数ペアや候補仕様を比べる場合は、選択基準を明らかにし、都合のよい結果だけを選ばないよう標本外比較を残します。

DCC-GARCHは、条件付き共分散を簡潔にモデル化する方法と考えるのが適切です。周辺方程式が変動する規模を推定し、依存関係の再帰が標準化イノベーションの連動を追い、正規化が補助行列を相関に変えます。仮定が明示され予測が評価されていれば、推定行列はリスク分析の一助になります。それだけで安定したヘッジ、ショックの原因、戦略の収益性が証明されるわけではありません。