固有値・固有ベクトルと金融リスク因子

行列は通常、ベクトルの長さと方向を変えます。固有ベクトルは変換後も同じ直線上に残る方向です。

固有値はその方向の伸縮率です。負なら向きも反転しますが、共分散の固有値は負になりません。

長さは任意なので通常1へ正規化します。ベクトルとその負ベクトルは同じ軸です。

対角要素は各資産の分散、非対角要素は二資産の共分散です。

共分散行列は対称かつ半正定値なので、実固有値と直交固有ベクトルを持てます。

標本共分散は観測からの推定です。その固有値と固有ベクトルにも標本誤差があります。

リターンを単位固有ベクトルへ投影すると、投影リターンの標本分散が対応固有値になります。

全固有値の和は行列のtrace、すなわち各変数分散の和と一致します。

一固有値を全体で割った値が説明分散比率で、大きさ順は標本内リスク方向の順位です。

スペクトル分解は共分散を固有ベクトル方向と固有値重みの和で表します。

直交軸では共分散が0なので、ポートフォリオ分散を各軸への露出の二乗と固有値の積へ分けられます。

これは座標変換です。無相関な軸が経済ショックの独立性を証明するわけではありません。

固有値が近いと、小さなデータ変更で対応ベクトルが大きく回転します。

固有値が等しければ共有部分空間内のどの直交基底も同じ共分散を作り、個別ベクトルは一意でありません。

符号整列、角度、部分空間距離、bootstrapで安定性を確認します。

第1固有値が支配的なら、多数資産が同じ方向へ動き、実効分散が銘柄数から期待するほど大きくない可能性があります。

有効次元は分散が固有値間でどれほど均等かを要約し、同じ銘柄数でも大きく異なります。

ストレス時は相関と先頭比率が上がり得ます。平穏期推定だけで危機時分散を楽観しません。

PCA負荷量は共分散または相関行列の固有ベクトルで、説明分散は固有値から求めます。

少数の大きな固有値は近似因子構造を支持しても、その経済的正体までは決めません。

因子モデルは共通構造と残差を指定し、固有分解は共分散幾何を示します。重なる用途でも仮定は違います。

リターン定義、頻度、期間、欠損、外れ値、標準化、共分散推定法を報告します。

全固有値分布、累積比率、主要ベクトル、符号整列規則を示し、証拠以上の名称を付けません。

ローリング、縮小共分散、標本外リスク予測を比較します。鮮明な図も推定誤差を消しません。