金融における正規分布とStudent-t分布

正規変数はX=μ+σZと書け、Zは標準正規、σは標準偏差です

位置尺度Student-t変数はX=μ+sT_νと書け、sは尺度、νは裾の厚さを決めます

どちらもμを中心に対称なため、拡張や変換なしではリターンの歪みを作れません

独立なZ∼N(0,1)とV∼χ²_νに対してT=Z/√(V/ν)は標準Student-t分布です

ランダムな分母により固定分散の正規分布より大きな標準化値が生じやすくなります

νが無限大へ進むと分母不確実性が消え、Student-t分布は正規分布へ近づきます

Student-tの裾はνが決めるべき乗で減衰し、正規の裾は距離の二乗に対して指数的に減衰します

平均はν>1、分散はν>2、四次モーメントはν>4で存在し、それ以下では対応する母集団モーメントがありません

ν>4では超過尖度が6/(ν−4)となり、正規の裾へ近づく過程を明示します

ν>2の位置尺度t分布ではVar(X)=s²ν/(ν−2)なのでsは標準偏差より小さくなります

正規のσとtの尺度sをともにボラティリティとして比べると、誤った裾や尤度差を作り得ます

ソフトウェアはパラメータ名や分散一への標準化が異なるため、正確な密度規約を記録します

正規最尤法は残差の二乗を重く扱い、少数の極端観測が分散推定値を膨らませます

Student-t尤度はνを通じて大きな標準化残差の影響を弱め、不可能とせず頑健に見える適合を与えます

νがモーメント境界付近なら、最適化が収束しても分散、尖度、リスク尺度が不安定になり得ます

多変量正規分布はGaussian Copulaを意味し、完全相関未満で漸近裾依存がゼロです

多変量t分布はランダム尺度を共有し、有限νで対称な正の裾依存を生みます

共同暴落と共同上昇が異なり、依存が局面で変わる株式では、この対称性も誤る可能性があります

確率・分位点図、閾値超過、予測尤度、区間被覆率、VaRまたはESバックテストを比較します

ローリング窓で再適合し、構造が残ればskewed-t、混合、確率的ボラティリティ、フィルター残差を試します

tの適合がよいとは選んだ目的に有用な近似という意味で、リターンが不変のt法則に従う証明ではありません