金融リターンと中心極限定理

X_1,…,X_nが有限平均μと正の有限分散σ²を持つ独立同分布だとします

古典的命題はnが無限大へ進むと(Σ_iX_i−nμ)/(σ√n)がN(0,1)へ分布収束するというものです

各X_iは歪んだ分布や離散分布でもよく、結論は個々の入力形状でなく標準化した集約に関するものです

独立性の下で和はnμの周りに増え、標準偏差はσ√nの速さで増えます

標本平均では√n(Ȳ_n−μ)/σが同じ標準極限を持ち、標準誤差は1/√nの速さで縮みます

中心化を省き、誤った分散を使い、共分散を無視すれば対象が変わり正規比較が無効になり得ます

分布収束は極限で固定された標準化閾値を記述し、特定のnで分布が等しいとは述べません

速度は歪度、裾の厚さ、格子効果、強いモーメント条件に左右され、遠い裾では遅くなり得ます

正規近似は中心付近で十分に見えても、有限標本の大損失確率を大きく過小評価することがあります

リターンにはボラティリティ集中、時系列依存、ジャンプ、構造変化、エクスポージャー変化、時変分布があります

弱依存やMartingale向けの中心極限定理もありますが、それぞれ独立性を厳密な正則条件で置き換えます

分散が無限なら古典的な√n正規極限は完全に失敗し、別の尺度で非正規安定極限が現れ得ます

一定の有限分散を持つ無相関定常増分ならVar(Σ_iX_i)=nσ²となり、ボラティリティは√nに比例します

自己共分散は2Σ_{h=1}^{n−1}(n−h)γ_hを加えるため、持続や反転が期間分散を変えます

複利、確率的ボラティリティ、ジャンプ、重複データ、暦効果も日次から年次への機械的変換を妨げます

σを標本推定値で置き換えた漸近標準誤差は、推定量と依存仮定が有効な場合だけ機能します

不均一分散・自己相関整合的方法は観測を独立と仮定せず長期分散を推定します

小標本、重い裾、データ探索、不安定な平均は精密に見える信頼区間を誤較正します

依存、ボラティリティ局面、裾の図、部分標本安定性、期間別の標準化した和の変化を調べます

中央区間と裾閾値の経験的被覆率を別々に比較し、中央値付近の成功でリスク資本を検証しません

Bootstrap、頑健、安定分布、明示的時系列の仮定が判断と診断に合うなら、それらを使います