大数の法則と中心極限定理の違い

平均μを持つ観測値X_1,…,X_nに対し、標本平均はX̄_n=n^(−1)Σ_iX_iです

大数の法則はnの増加とともにX̄_nがμへ近づくかを問い、中心極限定理は√n(X̄_n−μ)のように拡大した差の極限分布を問います

正しい値への収束だけでは、誤差の速さ、形、信頼区間、有限標本で使える近似は得られません

弱大数の法則は、明示された仮定のもとで、すべてのε>0についてP(|X̄_n−μ|>ε)→0と述べます

固定幅を超える誤差の確率が消えるという意味で、実現したすべての経路がやがて永久に近くに留まるという意味ではありません

独立同分布なら有限な期待値で広い弱法が成り立ちますが、単純な分散を使う証明は有限分散も仮定しがちです

強大数の法則はX̄_n→μがほとんど確実に成り立つ、つまり一つの確率ゼロ集合を除く全結果で収束すると述べます

概収束は確率収束を含意しますが、追加の構造がなければ逆は成り立ちません

強法も漸近的な主張であり、特定の意思決定許容幅に必要なnを示すわけではありません

有限で正の分散σ²を持つ独立同分布変数では、√n(X̄_n−μ)/σが分布収束でN(0,1)へ近づきます

√nを掛けることで縮小する誤差がゼロにつぶれるのを防ぎ、退化しない極限形を見えるようにします

平均は存在しても分散が存在しない裾の重い状況など、大数の法則が成り立って古典的中心極限定理が失敗する場合があります

定常エルゴード過程は大数の法則を満たし得ますが、中心極限定理には依存性と変動への追加の制御が必要です

金融時系列では平均、分散、エクスポージャー、流動性、レジームが変わるため、長い一系列が同じ法則からの反復抽出とは限りません

同じ危機クラスターや古いレジームの観測を増やしても、行数ほど有効情報が増えないことがあります

十分に依存の弱い多数のポジションでは、固有ショックの平均が安定し、大数の法則に似た効果が現れます

共通因子、テール依存、集中ウェイト、相関するデフォルトは、銘柄数を増やしただけでは消えません

同様に、投資機会集合自体が変化するなら、長期平均収益が恒久的な期待収益を明らかにする保証はありません

移動する標本平均と部分期間推定を描き、依存性、構造変化、裾のモーメント、有効標本数を調べます

平均の収束を不確実性の推定と見なさず、該当する中心極限定理や再標本化法で正当化した標準誤差を使います

どちらかの定理を持ち出す前に、推定対象、収束仮定、時間軸、誤差帯、窓やレジームへの感度を示します