Information share de Hasbrouck : mesurer la découverte des prix entre marchés

Un même titre peut être négocié sur plusieurs plateformes, ou des instruments étroitement liés peuvent refléter une même valeur sous-jacente. Leurs prix observés ne coïncident pas nécessairement à chaque instant. Une cotation peut bouger d'abord sur une plateforme, une autre peut réagir, puis les deux prix se stabiliser autour d'une trajectoire commune à long terme. La découverte des prix porte sur l'intégration de l'information nouvelle dans cette composante permanente commune. Elle se distingue du volume, de la liquidité affichée ou de la plateforme où a eu lieu la dernière transaction.

L'information share de Hasbrouck est conçue pour répondre à cette question. Dans son cadre, les prix de marchés liés partagent un prix efficient implicite et non observé, et chaque prix observé peut aussi contenir des écarts temporaires. La part d'un marché correspond à sa contribution proportionnelle à la variance de l'innovation du prix efficient commun (Hasbrouck, 1995). L'estimation dépend du système, de l'échantillon et du dispositif d'observation retenus. Elle n'identifie ni qui a reçu l'information en premier, ni un canal causal, ni une plateforme qui mènerait chaque événement.

Cette distinction compte lorsqu'une plateforme affiche davantage de volume ou des fourchettes plus étroites. Ces caractéristiques peuvent être associées à la découverte des prix, mais l'information share mesure une contribution modélisée aux variations du prix commun de long terme. Une plateforme peut avoir un volume élevé tandis qu'une autre apporte davantage aux innovations qui déplacent le prix commun.

Soit \(p_t\) le vecteur des prix observés sur \(d\) plateformes qui négocient le même actif ou des créances économiquement équivalentes. Le cadre habituel de microstructure traite les niveaux de prix comme non stationnaires, souvent \(I(1)\), tandis que l'arbitrage de long terme maintient stationnaires les écarts de prix. Avec deux plateformes et une tendance commune, il existe une relation de cointégration, généralement une différence de prix normalisée. Plus généralement, \(d\) prix liés partageant une seule tendance stochastique commune ont un rang de cointégration égal à \(d-1\).

Il s'agit d'une hypothèse empirique à vérifier, et non d'une identité qui découle du fait que le même symbole apparaît sur deux écrans. Les modalités du contrat, la devise, le financement, les dividendes, la livraison ou une base persistante peuvent différencier les prix. La relation peut aussi changer après un transfert de plateforme, une modification des frais, une réforme de la structure de marché ou une évolution de la définition des données. Si les séries ne partagent pas la relation de long terme supposée sur l'échantillon retenu, la décomposition du prix efficient et ses parts n'ont pas l'interprétation prévue.

La cointégration et la correction d'erreur relient une relation de long terme stationnaire à un modèle des variations de prix à court terme (Engle and Granger, 1987). Le VECM explicite cette structure : il sépare les ajustements temporaires autour du prix commun des innovations susceptibles d'affecter la composante de long terme.

<!-- learn:illustration --> <!-- Concept sans texte : deux trajectoires de prix de plateformes fluctuent autour d'une trajectoire commune, plus lisse et de plus long terme, avec des écarts temporaires propres à chaque plateforme. Ni données de marché, ni schéma causal, ni prévision. -->

Pour \(d\) séries de prix, un VECM peut s'écrire ainsi :

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

\(\beta\) engendre les relations de cointégration, \(\alpha\) contient les coefficients d'ajustement, \(\Gamma_j\) décrit la dynamique des retards à court terme et \(\varepsilon_t\) est le vecteur des innovations réduites, de matrice de covariance \(\Omega\). Dans le cas d'un prix efficient commun, l'effet à long terme de ces innovations se résume par un vecteur ligne \(\psi\). La variation du prix permanent est

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

selon la normalisation et les termes déterministes choisis. Sa variance est

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

\(\psi\) provient de la représentation de long terme du système estimé ; ce n'est pas simplement le coefficient d'ajustement \(\alpha\) ni le vecteur de cointégration \(\beta\). Les variations de prix à court terme peuvent être importantes mais transitoires. Une innovation plus faible peut compter davantage pour la découverte des prix si son effet persiste dans la composante permanente commune.

Il faut indiquer la tendance commune et sa normalisation. Multiplier la représentation du prix efficient par une constante change les unités de \(\psi\) et la variance du prix commun, mais pas les information shares normalisées. Si le système comporte plusieurs tendances stochastiques communes, un prix efficient scalaire ne suffit pas : il faut définir la composante permanente ou la combinaison linéaire décomposée.

Si les innovations des plateformes ne sont pas corrélées, \(\Omega\) est diagonale. La contribution de chaque marché peut alors être isolée directement :

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

La formule pondère l'effet de long terme d'un marché par la variance de sa propre innovation. Une plateforme peut obtenir une part supérieure si son innovation de prix a un effet persistant plus marqué ou une variance plus élevée. Comparer seulement les amplitudes des coefficients d'ajustement du VECM ne suffit pas.

Lorsque les innovations sont corrélées au même instant, la variance totale comprend des termes de covariance. À partir de \(\Omega\) seule, il n'existe pas de façon unique d'attribuer ces termes communs aux plateformes. Hasbrouck utilise la factorisation de Cholesky \(\Omega=FF^{\mathsf T}\) pour construire des innovations orthogonales. Pour un ordre de variables donné, la part attribuée au choc orthogonal \(i\) est

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

La factorisation rend les chocs orthogonaux, mais sa structure triangulaire donne aux variables placées tôt dans l'ordre la priorité pour absorber la variation contemporaine commune. Cet ordre est une convention d'attribution dans la décomposition, pas une preuve de hiérarchie économique de l'information.

Si les innovations de deux plateformes sont fortement corrélées parce que leurs prix sont actualisés dans le même intervalle d'échantillonnage, les données ne permettent pas de distinguer nettement laquelle est arrivée en premier. La décomposition de Cholesky attribue différemment leur mouvement commun selon la plateforme placée en premier. La procédure de Hasbrouck donne une borne inférieure en plaçant un marché en dernier et une borne supérieure en le plaçant en premier, parmi les ordres pertinents.

Ces bornes répondent à une question plus honnête qu'un ordre unique choisi par commodité : dans quelle mesure la part d'un marché peut-elle varier sous les attributions récursives admissibles des innovations corrélées ? Des bornes étroites indiquent que cet effet d'ordre est limité dans l'échantillon estimé. Des bornes larges signifient que les innovations de prix contemporaines identifient mal la répartition entre plateformes. Un milieu de fourchette est parfois publié comme résumé, mais ce n'est pas une estimation identifiée de façon unique et il ne remplace ni les bornes ni l'ordre déclaré.

Un échantillonnage plus fréquent peut réduire une partie de la corrélation contemporaine apparente si une plateforme actualise son prix avant l'autre, sans garantir une corrélation nulle. Un échantillonnage grossier masque la séquence des mises à jour ; un échantillonnage très fin peut introduire des prix périmés et des problèmes de cotations asynchrones. Indiquez la règle d'échantillonnage et la sensibilité à l'ordre.

À titre d'illustration seulement, supposons qu'un VECM estimé à deux marchés implique un vecteur normalisé d'impact sur le prix permanent \(\psi=(0.6,0.4)\). La matrice de covariance des innovations réduites est

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

Les innovations ont une variance égale à un et une corrélation de \(0.8\). La variance totale de l'innovation du prix permanent est

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

Plaçons d'abord le marché A. Un facteur de Cholesky triangulaire inférieur est

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

Les parts obtenues sont A : \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\), et B : \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\). Inversons l'ordre et plaçons B en premier : le même calcul attribue environ 85.7 % à B et 14.3 % à A. Les bornes dépendantes de l'ordre sont donc d'environ 14.3 % à 93.6 % pour A et de 6.4 % à 85.7 % pour B. Chaque ordre donne un total de 100 % ; les bornes inférieures ou supérieures distinctes des marchés ne sont pas censées totaliser 100 %.

Toutes les valeurs sont hypothétiques : le vecteur d'impact du VECM, les variances unitaires et la corrélation de 0.8 sont choisis uniquement pour rendre le calcul reproductible. L'exemple ne correspond à aucune bourse, aucun actif ni aucun échantillon. Il montre comment des innovations corrélées peuvent rendre un classement apparemment précis dépendant de l'ordre de Cholesky.

La décomposition de Gonzalo–Granger construit une composante permanente comme combinaison linéaire normalisée des prix observés. Dans un VECM de matrice d'ajustement \(\alpha\), les pondérations du facteur commun se trouvent dans le complément orthogonal de \(\alpha\) : un vecteur \(w\) vérifie \(\alpha^{\mathsf T}w=0\), avec une normalisation telle que la somme des pondérations soit égale à un. À long terme, le facteur commun obtenu ne réagit pas aux termes de correction d'erreur. Gonzalo et Granger ont développé cette décomposition permanent-transitoire pour les systèmes cointégrés (Gonzalo and Granger, 1995).

Les pondérations de composantes décrivent comment les prix des plateformes forment le niveau de prix commun. Les information shares de Hasbrouck mesurent plutôt la contribution de chaque plateforme à la variance de l'innovation du prix permanent commun. Les mesures peuvent être proches, mais l'information share tient aussi compte de la variance de chaque innovation. de Jong et l'analyse de Baillie, Booth, Tse et Zabotina expliquent pourquoi les mesures se ressemblent lorsque les innovations sont non corrélées et divergent lorsqu'elles sont corrélées ou de variances différentes (de Jong, 200200028-9) ; Baillie et al., 200200027-7)).

Les entrées hypothétiques \(\psi\) et \(\Omega\) ci-dessus ne déterminent pas les pondérations de composantes de Gonzalo–Granger, qui dépendent de la matrice d'ajustement \(\alpha\) du VECM et d'une normalisation explicitée. Les seules entrées de la décomposition de variance ne permettent pas d'obtenir une pondération numérique de composante. Cette distinction est essentielle : les pondérations de composantes construisent un prix permanent à partir des prix observés, tandis que les information shares de Hasbrouck décomposent la variance de son innovation.

Les séries doivent représenter des créances comparables et être alignées selon une horloge défendable. Précisez si chaque observation est un prix de transaction, un midpoint ou une autre mesure de cotation ; comment vous traitez les cotations verrouillées ou croisées, les prix périmés, les enchères, les fermetures de marché et les messages désordonnés ; et si les deux plateformes sont ouvertes pendant l'échantillon. Pour les contrats à terme, documentez les roulements et différences de livraison. Pour les instruments cotés sur plusieurs marchés, alignez devises, opérations sur titres et unités avant d'estimer le VECM.

Les observations asynchrones constituent un problème central. Si une plateforme actualise à 10:00:00.100 et l'autre à 10:00:00.700, une grille à la seconde peut faire paraître simultanée une réponse séquentielle ; une grille plus grossière la brouille davantage. Une fréquence très fine peut reporter des prix périmés et créer des relations d'avance-retard artificielles. Indiquez la fréquence, la règle de synchronisation, les filtres de cotation et la sensibilité à des variantes raisonnables. Des intervalles plus courts peuvent réduire la corrélation due à l'agrégation, mais ne suppriment ni les chocs communs réels, ni les mises à jour simultanées, ni les erreurs d'horodatage.

La part dépend aussi de l'ordre des retards, des termes déterministes, des bornes de l'échantillon et de la stabilité structurelle. Trop peu de retards peuvent laisser une dépendance sérielle dans les innovations du VECM ; trop de retards peuvent augmenter le bruit d'estimation. Une modification des règles d'une plateforme ou des heures de négociation peut changer le processus d'ajustement. Utilisez des diagnostics des résidus et des mesures d'incertitude ; envisagez un bootstrap qui réestime tout le VECM et les bornes de la part. Une faible erreur-type conditionnelle à une seule spécification ne couvre pas l'incertitude des choix de données et de modèle.

Une information share quantifie la contribution des innovations de chaque plateforme modélisée à la variance estimée du prix permanent, dans un VECM et une orthogonalisation donnés. Une part élevée ne prouve pas que la plateforme a créé l'information, qu'elle bouge la première à chaque événement ou qu'elle prévoit le prochain rendement. Une information commune peut parvenir presque simultanément aux plateformes, tandis que les frictions et le moment des observations modifient la répartition mesurée.

Ce n'est pas non plus une mesure directe de la qualité du marché. Une plateforme peut contribuer au prix commun tout en affichant une fourchette large, une faible profondeur ou des coûts d'exécution élevés. Une autre peut offrir une liquidité peu coûteuse tout en contribuant moins à l'innovation permanente dans l'échantillon retenu. L'estimateur de spread de Roll estime une autre quantité à partir de l'autocovariance des rendements ; le déséquilibre du flux d'ordres résume les variations des files affichées, pas la variance des innovations de long terme.

Toute affirmation de trading doit être évaluée par un test stratégique prédéfini et chronologique hors échantillon incluant frais, spread, latence, glissement, impact de marché et accès à la plateforme. Le guide Engle–Granger présente l'alternative de cointégration à une équation ; le guide du rang de Johansen traite du rang de cointégration du système. Ni la cointégration ni une information share élevée ne démontrent une stratégie rentable.