Variance contre volatilité : la différence de racine carrée qui modifie la valorisation

La variance s’exprime dans des unités de rendement au carré. Le carré supprime les signes et donne un poids disproportionné aux grands mouvements. L’écart-type ramène la mesure à l’unité de rendement initiale en prenant la racine carrée

La convention de marché appelle souvent « volatilité » l’écart-type annualisé. Ainsi, des volatilités de 10 % et 30 % correspondent à des variances de 0,01 et 0,09. Le second état a trois fois la volatilité, mais neuf fois la variance

Sous l’hypothèse de rendements indépendants et identiquement distribués, les variances s’additionnent dans le temps. La volatilité évolue donc selon la racine carrée du temps, et non selon le temps lui-même. Une volatilité sur un jour ne peut pas simplement être multipliée par 252

La corrélation sérielle, les régimes changeants, la saisonnalité intrajournalière, les sauts et les fenêtres qui se chevauchent affaiblissent ce raccourci. Indiquez si le calcul utilise des jours de trading ou des jours calendaires et quel intervalle de rendement il échantillonne

La racine carrée est non linéaire. La moyenne de plusieurs niveaux de volatilité diffère généralement de la racine carrée de leur variance moyenne. C’est une conséquence directe de l’inégalité de Jensen

Pour des volatilités de 10 % et 30 %, la moyenne simple de la volatilité est de 20 %. La racine carrée de la variance moyenne est √((0,01 + 0,09) ÷ 2), soit environ 22,36 %. Le choix modifie l’exposition et les comparaisons

La variance d’un portefeuille combine la variance de chaque actif et la covariance entre les actifs. Deux actifs volatils peuvent former un portefeuille moins volatil si leurs rendements n’évoluent pas ensemble ; les corrélations peuvent aussi augmenter pendant les périodes de stress

Pondérer les volatilités individuelles et appeler le résultat la volatilité du portefeuille ignore les mouvements croisés. Calculez d’abord la structure variance-covariance, puis prenez la racine carrée

Une chaîne d’options affiche l’IV sous la forme d’un pourcentage de volatilité lisible. Pourtant, des bandes d’options peuvent répliquer des payoffs proches de la variance, et les mathématiques de l’indice Cboe utilisent des pondérations liées à la réplication d’un variance swap

C’est pourquoi des variations égales de l’IV affichée n’ont pas nécessairement la même valeur économique à des niveaux de départ différents. Passer de 10 % à 11 % modifie moins la variance que passer de 30 % à 31 %

La méthodologie du VIX combine les cotations admissibles des options SPX pour obtenir une mesure de variance attendue à 30 jours, interpole l’horizon cible, puis publie la racine carrée sur une échelle annualisée en pourcentage

Le VIX n’est donc pas une simple moyenne des IV affichées des contrats. L’asymétrie et les pondérations de strikes comptent, de sorte que deux surfaces ayant une IV à la monnaie similaire peuvent produire des valeurs d’indice différentes

Le payoff d’un variance swap est linéaire par rapport à la variance réalisée et à un strike de variance. Un volatility swap verse sur la volatilité réalisée. Prendre une racine carrée introduit une convexité, de sorte que les strikes justes et les couvertures diffèrent

Une position d’options ajoute des effets de delta, de gamma, d’asymétrie, de parcours et d’exécution. Dire qu’elle est « longue volatilité » ne précise pas si son P/L ressemble à une variance, une volatilité ou une autre exposition dépendante de l’état

Précisez les rendements simples ou logarithmiques, l’échantillonnage clôture à clôture ou intrajournalier, le nombre d’observations, le facteur d’annualisation, le traitement de la moyenne, les jours fériés et les données manquantes. Des conventions différentes peuvent produire des variances réalisées différentes

Comparez les quantités implicites et réalisées avec des horizons et des unités correspondants. Ne soustrayez jamais une variance comme 0,04 directement d’une cotation de volatilité comme 20 %