Black–Scholes : explication de d1 et d2
Comprenez les formules d1 et d2, pourquoi N(d1) est lié au delta du call, pourquoi N(d2) est lié à la probabilité neutre au risque d'expirer dans la monnaie et quelles sont leurs limites
Réponse directe
d1 et d2 de Black–Scholes compriment le spot, le strike, le temps, la volatilité, les taux et les dividendes en coordonnées standardisées. Ils vérifient d2=d1−σ√T. Pour un call européen sans dividende, N(d1) est le delta, tandis que N(d2) est lié à la probabilité neutre au risque du modèle d'expirer dans la monnaie. Il ne s'agit pas de deux estimations de la même probabilité. N(d2) pondère le paiement du strike, tandis que N(d1) pondère l'exposition à l'action sous une autre mesure numéraire. Aucun de ces nombres n'est une prévision physique de hausse, une probabilité de toucher un niveau ou une probabilité de profit après prime
d1 et d2 partagent les mêmes entrées
d1 combine la moneyness logarithmique spot-sur-strike, le portage des taux et des dividendes ainsi que la moitié du terme de variance, puis divise le tout par σ√T
d2 soustrait σ√T à d1. Lorsque la volatilité et le temps sont positifs, d2 est toujours inférieur à d1
Le temps, la volatilité annualisée, les taux et le rendement du dividende doivent utiliser des conventions cohérentes de décompte des jours et de capitalisation
Leur écart est la volatilité totale
La quantité σ√T mesure l'échelle d'écart-type modélisée jusqu'à l'expiration ; davantage de volatilité ou de temps élargit donc l'écart entre d1 et d2
Même lorsque le spot est égal au strike, le portage et le terme de demi-variance signifient que d1 et d2 ne sont pas nécessairement symétriques autour de zéro
De grandes valeurs positives indiquent une coordonnée de modèle profondément dans la monnaie ; de grandes valeurs négatives indiquent une situation profondément hors de la monnaie, et non un jugement complet sur la transaction
N(d2) pondère le paiement du strike
Le prix d'un call européen peut s'écrire comme un terme pondéré par l'action moins un terme pondéré par le strike actualisé
N(d2) dans le terme du strike est lié à la probabilité neutre au risque du modèle que le spot terminal dépasse le strike et que le call paie à l'expiration
Cette affirmation suppose le modèle lognormal continu et le portage indiqués. Il ne s'agit pas d'une estimation empirique de la fréquence dans le monde réel
N(d1) pondère l'exposition à l'action et le delta
Pour un call de Black–Scholes sans dividende, le delta est égal à N(d1) ; avec un rendement de dividende continu q, il prend la forme e^(−qT)N(d1)
Le delta est la variation locale de la valeur théorique de l'option pour une petite variation du prix spot, les autres paramètres du modèle restant fixes
N(d1) est lié à un poids sous le numéraire action, ce qui le distingue de la probabilité d'expiration sous le numéraire monétaire représentée par N(d2)
Les puts exigent des signes et des événements différents
Pour un put européen, l'événement d'être dans la monnaie à l'expiration est celui d'un spot terminal inférieur au strike et se relie à N(−d2) dans le modèle de base
Le delta d'un put sans dividende est N(d1)−1 ; avec des dividendes continus, il prend la forme e^(−qT)(N(d1)−1)
Ne mémorisez pas un call pour inverser ensuite les signes machinalement. Identifiez séparément l'événement du payoff et le sens de la sensibilité au prix
Transformer le delta en probabilité mélange plusieurs questions
L'événement d'expiration dans la monnaie demande où finit le spot ; la probabilité de toucher un niveau demande si ce niveau est atteint à un moment quelconque de la trajectoire
La probabilité de profit inclut la prime d'entrée et le seuil de rentabilité, tandis qu'une prévision physique peut inclure des primes de risque et des croyances subjectives
Lire un delta de 0.30 comme une « probabilité de profit de 30% » confond N(d1), N(d2), les mesures de valorisation et physiques et les seuils de payoff
Une surface de volatilité vivante modifie les coordonnées
La VI de marché varie selon le strike et l'échéance ; la volatilité choisie et la convention de surface modifient donc d1, d2 et leurs valeurs N
L'exercice américain, les dividendes discrets, les coûts d'emprunt et les sauts affaiblissent l'interprétation probabiliste de la formule européenne simple
Les deltas affichés par les plateformes peuvent différer parce que les modèles, cotations, dividendes et taux diffèrent. Un nombre affiché est inséparable de ces entrées
Présentez la convention et la question
Enregistrez le spot, le strike, l'horodatage, le temps jusqu'à l'expiration, la VI, les taux, les dividendes, le type call ou put et le style d'exercice
Lorsque vous présentez d1, d2 ou des valeurs N, étiquetez précisément le delta et la probabilité modèle neutre au risque d'être dans la monnaie à l'expiration
Pour une décision, ajoutez le payoff, le seuil de rentabilité, le bid-ask, les scénarios de surface et une revalorisation complète au lieu de vous appuyer sur une seule coordonnée
Questions fréquentes
Lequel de d1 ou d2 est la probabilité d'expirer dans la monnaie ?
Dans le modèle européen de base, la probabilité neutre au risque qu'un call expire dans la monnaie est liée à N(d2), et non à une prévision physique
Pourquoi le delta du call est-il N(d1) plutôt que N(d2) ?
Le delta dérive le prix par rapport au spot et appartient au terme pondéré par l'action, et non à l'événement terminal pondéré par les liquidités
Que se passe-t-il pour d1 et d2 lorsque la volatilité augmente ?
Leur écart s'élargit, mais chaque niveau dépend aussi de la moneyness, du portage et du terme de demi-variance ; le sens de leur variation n'est donc pas universel
d2 peut-il calculer la probabilité que la transaction soit bénéficiaire ?
Non. Le profit dépend du franchissement du seuil de rentabilité ajusté de la prime, et non du simple fait de finir au-delà du strike