Le modèle binomial de valorisation des options : explication

Commencez avec un prix sous-jacent S. Après un intervalle, il devient Su dans l'état haut ou Sd dans l'état bas, avec u supérieur à d

L'option paie Cᵤ ou C_d dans ces états. Il est possible de choisir une position dans le sous-jacent et des liquidités qui reproduit les deux payoffs

Parce que le portefeuille de réplication a les mêmes payoffs dans chaque état, l'absence d'arbitrage lui donne la même valeur actuelle qu'à l'option

Le ratio de couverture est la différence des payoffs divisée par la différence des prix du sous-jacent : delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)

Après le choix du delta, le payoff restant dans chaque état est fourni par un prêt ou un emprunt. L'actualisation de ce montant de liquidités complète la valeur actuelle

Cette construction rend l'économie visible : le prix découle d'une réplication état par état, et non d'une conjecture sur la branche la plus probable dans la réalité

La même valeur peut s'écrire comme une moyenne pondérée actualisée des deux valeurs futures de l'option à l'aide d'une probabilité neutre au risque q

Avec un portage cohérent, q est choisi de sorte que la croissance attendue pondérée du sous-jacent corresponde au taux sans risque ou au taux forward. Elle n'est pas obligée de correspondre à la fréquence historique des hausses

Pour l'absence d'arbitrage, la croissance du sous-jacent après portage doit se situer entre d et u, ce qui fait que q est comprise entre zéro et un. Un échec indique des paramètres d'arbre incohérents

Répétez la construction à une étape sur de nombreux intervalles. Dans un arbre recombiné, une hausse suivie d'une baisse atteint le même nœud qu'une baisse suivie d'une hausse

Après n étapes, il existe n + 1 nœuds de prix terminaux plutôt que 2ⁿ nœuds distincts, ce qui rend le calcul pratique

Le choix de Cox–Ross–Rubinstein fixe couramment u et d à partir de la volatilité et de la durée de l'étape, avec des mouvements réciproques qui font recombiner l'arbre

Calculez d'abord le payoff contractuel à chaque nœud terminal. Reculez ensuite d'une étape en prenant la valeur neutre au risque actualisée à chaque nœud parent

Continuez jusqu'à la racine. Chaque valeur intermédiaire est une valeur conditionnelle du modèle fondée sur les états accessibles depuis ce nœud

Les dividendes, les taux, les structures par terme et la volatilité variable exigent un traitement cohérent à chaque étape plutôt qu'un seul ajustement final

À chaque nœud admissible, comparez la valeur de l'exercice immédiat à la valeur actualisée de la continuation. La valeur américaine est la plus grande des deux

Cette simple opération de maximum identifie une région d'exercice et constitue un avantage majeur par rapport à la formule fermée européenne de Black–Scholes

Les résultats d'exercice restent dépendants du modèle. Les dividendes discrets, l'emprunt, le règlement et le nombre d'étapes peuvent déplacer sensiblement la frontière estimée

Lorsque les étapes deviennent plus fines avec des choix appropriés, le prix binomial peut converger vers celui du modèle en temps continu correspondant, tel que Black–Scholes

La convergence peut osciller selon la position du strike par rapport aux nœuds. Différentes paramétrisations de l'arbre peuvent avoir des biais et une stabilité différents

Davantage d'étapes réduit l'erreur de discrétisation à l'intérieur du modèle, mais ne corrige ni une mauvaise volatilité, ni des sauts absents, ni de mauvais dividendes, ni des cotations de marché non exécutables

Vérifiez les bornes d'absence d'arbitrage, la parité put-call pour les créances européennes, la monotonie, la convexité et la convergence lorsque le nombre d'étapes augmente

Comparez les valeurs européennes à une forme fermée et les valeurs américaines à une méthode indépendante. Testez un temps nul, un spot extrême et les dates de dividende

Consignez la convention de l'arbre, le portage, le calendrier, le programme d'exercice et le nombre d'étapes. Un prix publié sans ces réglages n'est pas reproductible