Calcul de Stratonovich et calcul d'Itô : explication
Comprendre les différences entre les intégrales stochastiques de Stratonovich et d'Itô, convertir leurs termes de dérive et pourquoi les modèles financiers doivent préciser la convention
Réponse directe
Les calculs d'Itô et de Stratonovich décrivent les mêmes dynamiques stochastiques convenablement converties, mais évaluent les intégrandes bruités en des points différents de chaque intervalle. La conversion ajoute un terme de dérive issu de la variation quadratique ; une équation est donc incomplète tant que sa convention d'intégration n'est pas nommée
Le point d'échantillonnage modifie l'intégrale
Une intégrale d'Itô utilise l'information de l'extrémité gauche de chaque intervalle. Son intégrande est ainsi prévisible et l'intégrale possède une propriété de martingale sous des hypothèses usuelles
Une intégrale de Stratonovich utilise une limite de type point médian. Elle suit plus fidèlement la règle de chaîne ordinaire pour les changements de coordonnées réguliers
Aucune notation n'est automatiquement plus réaliste. La convention appropriée dépend de la limite de modélisation, du flux d'information et de la quantité représentée
La conversion des conventions change la dérive
Pour une diffusion unidimensionnelle, dX = a(X)dt + b(X)∘dW sous forme de Stratonovich devient dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW sous forme d'Itô
Le terme supplémentaire n'est pas un ajustement discrétionnaire. Il provient de la covariation quadratique entre l'intégrande dépendant de l'état et le mouvement brownien
Lorsque b est constant, b' vaut zéro et les deux formes coïncident. C'est lorsque la volatilité dépend de l'état qu'un mélange silencieux devient coûteux
Un exemple de bruit multiplicatif révèle la différence
Prenons b(X) = σX et une dérive de Stratonovich nulle. Sa dérive d'Itô équivalente est 1/2σ²X
Avec σ = 40 %, cette correction représente 8 % de X par an avant toute dérive économique spécifiée séparément
Ce nombre est un changement de représentation, et non un rendement attendu de l'action ni un alpha négociable. Un modèle financier doit encore préciser sa mesure, son portage, ses dividendes et ses contraintes
Les modèles de valorisation indiquent normalement une dynamique d'Itô
Les modèles de valorisation des actifs en temps continu utilisent couramment des processus d'Itô, car les stratégies de trading autofinancées sont adaptées à l'information disponible avant le choc suivant
Le lemme d'Itô, les mesures martingales et la dérivation standard de Black–Scholes sont écrits dans cette convention
Les modèles physiques dérivés de limites de bruit coloré peuvent naturellement produire des équations de Stratonovich. Convertissez-les avant de les combiner avec un calcul de valorisation ou de couverture en Itô
La conversion ne corrige pas le risque de modèle
Une équation peut être correctement convertie tout en omettant les sauts, la volatilité stochastique, la liquidité, la couverture discrète ou des paramètres mal spécifiés
Les systèmes multidimensionnels exigent le jacobien complet et la structure de covariance, et non un raccourci scalaire « un demi fois b fois b prime »
Indiquez toujours l'EDS, la convention d'intégration, la mesure de probabilité, l'unité de temps et l'interprétation du bruit avant de comparer les résultats
Questions fréquentes
Le calcul de Stratonovich est-il plus correct que celui d'Itô ?
Non. Ce sont des descriptions équivalentes lorsqu'elles sont correctement converties. La forme adaptée dépend de la manière dont le modèle stochastique est construit et de son usage
Pourquoi la dérive change-t-elle lors de la conversion ?
L'intégrande peut évoluer avec le mouvement brownien lorsqu'il dépend de l'état. Sa covariation quadratique subsiste sous la forme d'une correction de dérive finie
Puis-je utiliser la règle de chaîne ordinaire avec un processus d'Itô ?
Pas directement. Le lemme d'Itô ajoute un terme du second ordre issu de la variation quadratique. La notation de Stratonovich rétablit une règle d'apparence ordinaire, mais avec sa propre convention