Le théorème de Girsanov dans la tarification des options expliqué

Sous une mesure physique P, une action peut suivre dS/S = μdt + σdWᴾ, où μ représente le rendement attendu modélisé

Cette dérive est pertinente pour la prévision et le choix de portefeuille, mais la valeur d’une option sans arbitrage ne devrait pas dépendre d’une estimation arbitraire de μ dans un modèle de diffusion complet

Passer des probabilités physiques aux probabilités de tarification exige davantage que de remplacer un symbole par un autre. Il faut une transformation de mesure valide

La dérivée de Radon–Nikodym définit la manière dont la nouvelle mesure pondère les événements par rapport à l’ancienne jusqu’à chaque date

Pour les modèles browniens, cette densité s’écrit couramment comme une exponentielle stochastique construite à partir d’un processus souvent noté λ

La densité doit rester positive et avoir une espérance égale à un. Sinon, l’expression proposée peut ne pas définir une mesure de probabilité équivalente

Avec une densité valide, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt devient un mouvement brownien sous la nouvelle mesure Q, selon une convention de signe courante

En substituant dWᴾ = dWᵠ − λdt, on déplace la dérive de tout processus exposé à ce choc brownien

Le coefficient de volatilité qui multiplie dW ne disparaît pas. Les changements de mesure d’une diffusion équivalente modifient la dérive, et non la structure instantanée de covariance

Pour une action sans dividende, choisissez λ de sorte que la dérive sous Q devienne le taux court r. Avec un rendement de dividende q, la dérive hors dividende est généralement r − q

L’actif de rendement total actualisé est alors une martingale sous Q, et un payoff réplicable peut être évalué par son espérance actualisée sous Q

Le résultat ne dit pas que l’action rapporte réellement r dans le monde réel. Il indique comment sa dérive apparaît sous la mesure de tarification choisie

Dans le cas simple à coefficients constants, λ = (μ − r) / σ selon la convention de signe indiquée et sans dividendes

Avec plusieurs sources de risque, un vecteur de prix du risque déplace la dérive par l’intermédiaire de la matrice des expositions à la volatilité. Toute dérive souhaitée n’est pas atteignable si les expositions ne sont pas de rang suffisant

Dans les marchés incomplets, certaines composantes du prix du risque peuvent rester indéterminées par les actifs négociés, produisant plusieurs mesures de martingale admissibles

Les conditions de Novikov, de Kazamaki ou des conditions proches sont couramment utilisées pour garantir que l’exponentielle stochastique est une vraie martingale et non seulement une martingale locale

L’équivalence préserve aussi les événements de probabilité nulle. Une transformation ne peut pas rendre possible une trajectoire réellement impossible tout en restant équivalente

Des coefficients explosifs, des martingales locales strictes, des horizons infinis ou une faible régularité peuvent invalider une application désinvolte de la formule

Pour les processus à sauts, un changement de mesure peut modifier l’intensité des sauts et la distribution de leur taille ainsi que la dérive continue

Les modèles de tarification calibrés spécifient directement les paramètres neutres au risque, mais les relier aux estimations physiques nécessite encore un modèle de prime de risque

Indiquez la mesure initiale, la mesure cible, la densité, la convention de signe, le numéraire, l’horizon et les conditions avant d’interpréter les dynamiques transformées