Conditions de Novikov et Kazamaki expliquées
Découvrez comment les critères de Novikov et de Kazamaki transforment une exponentielle stochastique de martingale locale en densité valide pour un changement de mesure
Réponse directe
Novikov et Kazamaki sont des tests suffisants qui font d'une exponentielle stochastique d'une martingale locale continue une véritable martingale d'espérance égale à un sur un horizon donné. Cette propriété permet à l'exponentielle de définir une densité de probabilité
Une martingale locale positive peut perdre de la masse
Pour une martingale locale continue M, son exponentielle stochastique est Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)
Z est une martingale locale positive et donc une surmartingale ; E[Z_t] peut ainsi devenir inférieure à sa valeur initiale un
Si de la masse est perdue, Z_T ne peut pas servir de densité de probabilité sans modifier la construction prévue
Un changement de mesure nécessite une vraie martingale
Une densité sur un horizon fini exige Z_T ≥ 0 et E[Z_T] = 1, le processus de densité étant donné par des espérances conditionnelles
L'intégrabilité uniforme contrôle la famille sur l'horizon et permet des changements de mesure cohérents aux temps d'arrêt
Écrire une expression exponentielle ne prouve pas qu'elle se normalise à un ou qu'elle définit une mesure équivalente
Novikov contrôle la variation quadratique exponentielle
Un critère courant de Novikov est E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ pour un horizon fini T fixé
Pour M = ∫θ_s dW_s, le crochet est ∫₀ᵀθ_s²ds ; le test demande donc l'intégrabilité exponentielle du déplacement de dérive cumulé au carré
Le critère est pratique parce qu'il utilise la variation quadratique, mais il peut être plus fort que nécessaire
Kazamaki examine la martingale elle-même
Les critères de type Kazamaki contrôlent exp(M/2), généralement au moyen d'une sous-martingale ou d'une condition d'intégrabilité uniforme sur les temps d'arrêt
Ils peuvent établir la propriété de vraie martingale dans des cas où le moment exponentiel du crochet de Novikov est infini
Les formulations exactes varient selon l'horizon et la version du théorème ; le critère cité et la convention de signe doivent donc être explicites
L'échec d'un critère n'est pas l'échec de la densité
Les deux conditions sont des tests suffisants, pas des définitions et généralement pas des conditions nécessaires
Si Novikov échoue, Kazamaki, la variation moyenne bornée, des calculs directs d'espérance ou des arguments propres au modèle peuvent tout de même fonctionner
Si tous les tests pratiques échouent, on ne peut pas simplement supposer la martingalité ; le comportement de martingale locale stricte reste possible
La finance dépend de l'étape d'espérance égale à un
Les changements de dérive de Girsanov et les densités risque-neutres utilisent souvent une exponentielle stochastique construite à partir du prix de marché du risque
Si la densité est une martingale locale stricte plutôt qu'une vraie martingale, la mesure de valorisation proposée peut être défectueuse ou incohérente selon les horizons
Le problème apparaît aussi dans les estimateurs de rapports de vraisemblance, le filtrage, la dualité d'utilité et les modèles présentant un comportement de bulle
L'horizon, les sauts et la localisation changent le test
Une condition valable pour tout T fini ne suffit pas nécessairement à donner une intégrabilité uniforme sur un horizon infini
La localisation prouve des identités locales mais ne rétablit pas à elle seule l'espérance manquante lorsque des limites sont prises
Les exponentielles à sauts exigent des critères de positivité et d'intégrabilité adaptés aux sauts ; la formule continue de Novikov ne doit pas être copiée telle quelle
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la condition de Novikov ?
Pour une martingale locale continue M sur [0,T], une forme courante exige que E[exp(½⟨M⟩_T)] soit finie
La condition de Novikov est-elle nécessaire ?
Non. Elle est suffisante, et une exponentielle stochastique peut être une vraie martingale même lorsque le moment de Novikov diverge
Kazamaki est-il plus faible que Novikov ?
Kazamaki peut vérifier des cas que Novikov ne couvre pas, même si les comparaisons exactes dépendent des versions et des hypothèses énoncées
Pourquoi ces conditions comptent-elles dans la valorisation des options ?
Elles aident à prouver qu'une exponentielle utilisée pour Girsanov a une espérance égale à un et définit la mesure de valorisation voulue