Les martingales dans la valorisation des options : explications
Comprenez l'espérance conditionnelle, pourquoi les prix actualisés des actifs négociables deviennent des martingales sous une mesure de valorisation et ce que ce concept n'implique pas
Réponse directe
Une martingale a une valeur future conditionnellement attendue égale à sa valeur actuelle sous une information et une mesure données. Dans la valorisation des options, les prix correctement actualisés des actifs négociables possèdent cette propriété sous une mesure neutre au risque.
L'espérance conditionnelle est la définition centrale
Soit Mₜ un processus et Fₜ l'information disponible à l'instant t. Une martingale vérifie E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ pour tout instant ultérieur u, sous réserve de conditions d'intégrabilité.
Le conditionnement est essentiel. La prévision utilise tout ce qui est déjà connu, et pas seulement une moyenne à long terme non conditionnelle.
La définition nomme toujours une mesure de probabilité et une filtration de l'information. Un processus peut être une martingale sous une mesure et pas sous une autre.
Une martingale peut évoluer et rester risquée
Jeu équitable ne signifie pas que la prochaine valeur sera égale à la valeur actuelle. Cela signifie que les variations conditionnelles positives et négatives s'équilibrent en espérance.
De grands sauts, des distributions larges et une incertitude dépendante du chemin sont compatibles avec la propriété de martingale si les espérances requises existent.
Martingale ne signifie pas non plus accroissements indépendants. Une dépendance peut subsister tant que la restriction sur la moyenne conditionnelle est respectée.
L'actualisation retire la croissance liée au financement
Un actif négociable comporte normalement un portage, des dividendes ou des effets de financement ; son prix non actualisé n'a donc pas besoin d'être une martingale sous une mesure de valorisation.
Divisez la valeur de rendement total par le numéraire choisi, comme un compte du marché monétaire. Sous des hypothèses d'absence d'arbitrage appropriées, le processus actualisé devient une martingale.
Changer de numéraire change la mesure associée et les prix relatifs qui sont des martingales. L'unité de compte fait partie de l'énoncé.
La valeur d'une option devient une espérance conditionnelle
Pour un gain réplicable H à l'instant T, sa valeur actualisée aujourd'hui est égale à l'espérance conditionnelle, sous la mesure de valorisation, du gain actualisé.
Il ne s'agit pas d'une moyenne fondée sur les fréquences historiques. La mesure est choisie pour que les prix actualisés des actifs négociables soient cohérents avec l'absence d'arbitrage.
La formule résume un argument de réplication dynamique. Elle ne supprime pas les hypothèses sur la négociation, les états du modèle, les dividendes ou le financement.
L'arbre binomial montre directement le mécanisme
Choisissez les poids de valorisation à la hausse et à la baisse de façon que la valeur future attendue de l'actif sous-jacent actualisé soit égale à sa valeur actualisée actuelle.
Appliquez ces mêmes poids aux valeurs de l'option aux nœuds suivants, puis actualisez en remontant l'arbre. Répéter l'étape donne le prix à la racine.
La probabilité neutre au risque de l'arbre est donc un poids de martingale. Elle n'affirme pas que l'action réelle a une espérance de rendement excédentaire nulle.
Les sous-martingales et les sur-martingales codent des inégalités
Une sous-martingale a une valeur future conditionnellement attendue au moins égale à la valeur présente ; pour une sur-martingale, elle lui est au plus égale.
Ces concepts apparaissent avec les contraintes, la consommation, l'exercice américain et la surcouverture, lorsque l'égalité exacte peut être remplacée par une borne unilatérale.
Le préfixe ne prévoit pas à lui seul un profit négociable. La mesure, l'actualisation, l'admissibilité et l'intégrabilité contrôlent encore l'interprétation.
L'arrêt optionnel exige des conditions
Il est tentant de penser que toute règle d'arrêt d'un jeu équitable conserve son espérance. Les théorèmes d'arrêt optionnel exigent une bornitude, une intégrabilité ou des conditions apparentées.
Les stratégies de doublement peuvent violer l'admissibilité ou exiger un capital illimité. Elles ne créent pas un arbitrage pratique à partir de la définition d'une martingale.
Les problèmes d'arrêt des options américaines utilisent des temps d'exercice et des processus de valeur soigneusement définis, et non une promesse illimitée selon laquelle le timing ne peut pas compter.
Le modèle et le marché ne sont pas le même objet
Les prix observés incluent les spreads, les cotations obsolètes, les contraintes et la négociation discrète. Une martingale de modèle est un énoncé dans des idéalisations précises.
Les martingales locales strictes, les bulles, les gains non bornés et les problèmes d'existence de mesure montrent pourquoi les conditions techniques ne peuvent pas toujours être ignorées.
Avant d'appliquer une formule de martingale, énoncez le processus, la mesure, le numéraire, la filtration, l'intégrabilité du gain et les stratégies de négociation disponibles.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une martingale en termes simples ?
Avec l'information actuelle, sa valeur future attendue est égale à sa valeur actuelle sous la mesure de probabilité indiquée.
Le prix d'une martingale reste-t-il constant ?
Non. Son chemin réalisé peut évoluer fortement ; seule la moyenne conditionnelle de sa valeur future est limitée.
Pourquoi les prix des actions sont-ils actualisés dans la valorisation par martingale ?
L'actualisation par le numéraire retire la croissance de financement modélisée afin que les valeurs négociables relatives puissent satisfaire la condition de martingale.
Le prix réel d'une action est-il une martingale ?
Pas comme énoncé indépendant d'une mesure. Il faut préciser le processus pertinent, les dividendes, le numéraire, l'information et la mesure de probabilité.