Numéraire et changement de mesure expliqués

Un prix en dollars utilise la monnaie comme unité visible, tandis que les modèles de valorisation utilisent souvent un compte de marché monétaire comme numéraire dynamique

Si Nₜ est le numéraire choisi, le prix relatif de l'actif X est Xₜ/Nₜ. Il s'agit de la quantité de numéraire nécessaire pour acheter X

Changer d'unité ne crée pas de valeur. Cela réorganise les mêmes gains économiques et change l'espérance conditionnelle la plus pratique

Le numéraire doit être négociable et strictement positif sur l'horizon pertinent afin que la division soit définie et que la densité de mesure reste valide

Un actif qui peut atteindre zéro ne peut généralement pas servir de numéraire global sans localisation ou sans réduire l'espace d'états

Le financement, la garantie, les dividendes et le réinvestissement doivent être intégrés de façon cohérente dans la définition de la valeur totale de rendement du numéraire

En partant du numéraire de marché monétaire B et de la mesure risque-neutre Qᴮ, un autre numéraire N définit une nouvelle mesure Qᴺ par une densité fondée sur N/B

Sous Qᴺ, tout prix d'actif négociable admissible divisé par N est une martingale. Sous Qᴮ, les prix divisés par B ont cette propriété

Il n'existe aucune affirmation indépendante de la mesure selon laquelle le prix brut d'un actif est une martingale. Le numéraire et la mesure vont ensemble

Un gain H à T peut être valorisé comme Nₜ multiplié par l'espérance conditionnelle sous Qᴺ de H/N_T

Utiliser un numéraire différent change à la fois les unités du gain et les pondérations de probabilité, de sorte que la valeur en monnaie reste la même lorsque les hypothèses sont cohérentes

Cette identité est une transformation de valorisation, pas une prévision selon laquelle les probabilités d'événements d'une mesure seraient plus vraisemblables physiquement

Choisissez l'obligation zéro coupon arrivant à maturité T, P(t,T), comme numéraire. Sous la mesure forward T, les prix forward admissibles livrés à T deviennent des martingales

Cela peut supprimer l'actualisation stochastique d'un gain payé à T et simplifier les caps, les swaptions, les options sur obligations et autres créances de taux

La maturité doit correspondre à la date du gain, ou les flux doivent être décomposés avec soin. Une mesure forward ne simplifie pas toutes les dates à la fois

Choisissez un numéraire qui ressemble à un facteur positif du gain. Le diviser peut transformer un produit en indicatrice ou en option d'échange plus simple

Dans Monte-Carlo, le gain transformé peut avoir une variance plus faible ou éviter de simuler un facteur d'actualisation distinct, mais l'amélioration n'est pas automatique

La commodité numérique ne peut pas réparer un modèle incohérent. La mesure transformée nécessite toujours une dérive, une covariance et une dynamique de densité correctes

Pour les actions, le numéraire négociable doit inclure les dividendes réinvestis plutôt que le seul prix coté hors dividende

Sur le marché des changes, les comptes de marché monétaire domestique et étranger produisent naturellement des mesures risque-neutres domestique et étrangère

Les produits quanto et les créances multidevises révèlent les ajustements de dérive créés par les corrélations entre taux de change, actifs, taux et numéraire choisi

Valorisez un produit de référence sous deux numéraires et confirmez leur accord dans la limite de l'erreur analytique ou numérique après reconversion des unités

Vérifiez la normalisation de la densité, les tests de martingale des actifs relatifs, l'alignement avec la date du gain, les conventions de rendement total et les ajustements de dérive simulés

Documentez le numéraire, la mesure associée, la dérivée de Radon–Nikodym, la devise de règlement et toutes les dates de flux afin que le résultat soit reproductible