Le théorème de représentation des martingales en finance : explications
Découvrez comment les martingales deviennent des intégrales stochastiques, pourquoi l'intégrande devient une couverture et comment la représentation détermine la complétude du marché
Réponse directe
Le théorème de représentation des martingales écrit une martingale admissible comme sa valeur initiale plus une intégrale stochastique par rapport aux facteurs de risque. En finance, cette intégrale devient une couverture dynamique lorsque les gains des actifs négociés engendrent les mêmes facteurs.
La source d'information doit être précisée
Une martingale est définie par rapport à une filtration F_t, c'est-à-dire l'information disponible au fil du temps.
Dans le théorème brownien standard, F_t est engendrée par le mouvement brownien et complétée par les ensembles négligeables usuels.
Changer la filtration peut modifier le résultat : une information supplémentaire peut introduire des risques que le facteur indiqué ne peut pas représenter.
Le théorème transforme une martingale en intégrale
Pour une martingale brownienne M de carré intégrable, il existe un processus prévisible φ tel que M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u.
De façon équivalente, une variable terminale H de carré intégrable vérifie H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u.
L'intégrande est unique selon la convention d'intégrabilité pertinente, tandis que sa dimension exacte suit le nombre de risques browniens moteurs.
L'intégrande devient un ratio de couverture
Sous une mesure de valorisation, la valeur actualisée d'un gain est une martingale lorsque les conditions usuelles de valorisation sont réunies.
Représenter cette valeur avec le même bruit que celui qui anime les actifs négociés révèle l'exposition qui doit être compensée dynamiquement.
Résoudre l'équation de chargement en volatilité des actifs transforme l'intégrande de la martingale en positions sur des actions ou d'autres titres risqués.
La représentation est liée à la complétude du marché
Si les gains des actifs négociés engendrent chaque composante du risque de la martingale motrice, les gains contingents admissibles peuvent être répliqués.
Dans une diffusion brownienne, cela dépend du rang de la matrice de chargement en volatilité, et pas seulement du nombre de noms d'actifs.
Une représentation complète soutient une mesure de valorisation équivalente unique sous des hypothèses usuelles d'absence d'arbitrage.
Un risque supplémentaire peut rompre la représentation par les actifs négociés
Un facteur brownien non négocié, une source de sauts, un instant de défaut ou un flux d'information élargi peut ajouter une composante de martingale que les actifs ne couvrent pas.
La martingale du gain peut alors contenir un résidu orthogonal qu'aucune stratégie autofinancée sur les titres disponibles ne supprime.
La martingale mathématique peut encore avoir une représentation dans un ensemble de facteurs plus large, tandis que le marché financier reste incomplet.
L'incomplétude modifie le choix du prix et de la couverture
Sans réplication exacte, l'absence d'arbitrage peut autoriser plusieurs mesures de martingale et un intervalle de prix pour les gains.
Des critères de variance minimale, d'utilité, d'indifférence ou de surcouverture sélectionnent des traitements différents de la composante non couverte.
Le critère choisi est une donnée économique, et non une conséquence du seul théorème de représentation.
La vérification exige de faire correspondre chaque hypothèse
Indiquez la filtration, la mesure de probabilité, l'ensemble des facteurs, la classe d'intégrabilité, les stratégies admissibles et la matrice de volatilité des actifs.
Vérifiez la prévisibilité et l'intégrabilité quadratique de l'intégrande, ainsi que le rang et la stabilité lorsqu'il est converti en positions.
Testez séparément les gains résiduels des coûts de transaction et de l'erreur de discrétisation ; un petit résidu observé sur un échantillon ne prouve pas la complétude théorique.
Questions fréquentes
Que dit simplement le théorème de représentation des martingales ?
Il dit que toute nouvelle variation d'une martingale admissible peut être construite en accumulant une exposition prévisible aux facteurs aléatoires indiqués.
Pourquoi la filtration est-elle importante ?
Elle définit les informations et les surprises existantes ; l'élargir peut introduire un risque de martingale que les facteurs initiaux ne représentent pas.
La représentation des martingales garantit-elle une couverture négociable ?
Non. Les facteurs mathématiques doivent aussi être engendrés par les gains de titres réellement négociables dans le cadre de stratégies admissibles.
Quel est le rapport entre le théorème et les marchés complets ?
Un marché est complet lorsque les gains négociés peuvent représenter et répliquer chaque martingale de gain pertinente dans la structure d'information choisie.