La variation quadratique en finance expliquée
Comprenez pourquoi les incréments de trajectoire au carré subsistent à des échelles fines, produisent la correction d'Itô et relient la volatilité de diffusion à la variance réalisée
Réponse directe
La variation quadratique est la limite des incréments de trajectoire au carré sur des partitions de plus en plus fines. Elle s'annule pour les trajectoires continues à variation finie, vaut le temps écoulé pour un mouvement brownien standard et produit la correction du calcul d'Itô
Élevez les incréments au carré avant d'affiner le temps
Pour une partition π de [0,t], formez Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² et rendez le pas de la partition de plus en plus petit
Lorsque ces sommes convergent dans le sens probabiliste pertinent, leur limite est la variation quadratique [X]_t
Il s'agit d'un concept d'accumulation le long d'une trajectoire, et non du même objet que la variance statistique de X_t entre des réalisations répétées
Les trajectoires lisses à variation finie disparaissent
Une trajectoire continue à variation totale finie a une variation quadratique nulle, car ses petits incréments au carré s'annulent plus vite que leur somme absolue
C'est pourquoi les courbes de prix ordinaires et différentiables ne produisent pas de correction du second ordre dans les règles classiques de chaîne
La variation quadratique isole la rugosité qui reste visible après que les mouvements du premier ordre sont devenus individuellement minuscules
La rugosité brownienne subsiste à toute échelle
Le mouvement brownien standard a une variation totale infinie sur tout intervalle non trivial, mais vérifie [W]_t = t
Heuristiquement, environ 1/Δt incréments ont chacun une taille au carré proche de Δt, si bien que leur somme reste d'ordre un
Cette relation est une affirmation de limite, et non l'affirmation algébrique ponctuelle que dW/dt existe ou que chaque incrément au carré soit égal à dt
La covariation enregistre les mouvements conjoints rugueux
La covariation quadratique [X,Y] additionne les produits ΔX·ΔY sur des partitions fines
La polarisation donne [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), reliant la variation conjointe aux variations quadratiques individuelles
Pour des facteurs browniens corrélés, la covariation transmet la dépendance instantanée aux formules d'Itô des portefeuilles et des modèles multivariés
La formule d'Itô conserve le terme du second ordre
Pour dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, la variation quadratique continue est [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
Le développement de Taylor conserve 1/2 f''(X_t)d[X]_t, car les incréments stochastiques au carré s'accumulent au lieu de disparaître
Cette correction fait fonctionner les équations de valorisation des diffusions et distingue le calcul stochastique du calcul différentiel ordinaire
Les sauts ajoutent leurs tailles au carré
Pour une semi-martingale à sauts, la variation quadratique comprend la variation de la martingale continue plus Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
Un grand saut peut donc dominer le mouvement quadratique réalisé d'une journée même lorsque la volatilité continue était modérée
Séparez la variation continue, les sauts et la dérive à variation finie lorsque la question économique dépend de leurs sources différentes
La variance réalisée est un estimateur, pas la limite elle-même
La variance réalisée à haute fréquence additionne les rendements intrajournaliers observés au carré pour approximer la variation quadratique latente
Un échantillonnage trop espacé manque des mouvements, tandis qu'un échantillonnage trop fin amplifie le rebond bid-ask, la discrétisation des prix, les cotations asynchrones et les mauvaises cotations
Comparez les grilles d'échantillonnage, nettoyez explicitement les sauts, alignez les heures de cotation et distinguez la définition du rendement avant d'interpréter l'estimation comme une volatilité
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la variation quadratique en termes simples ?
C'est le mouvement qui reste lorsque de nombreux petits changements de trajectoire sont élevés au carré puis additionnés sur une grille temporelle de plus en plus fine
Pourquoi le mouvement brownien a-t-il une variation quadratique t ?
Ses incréments sur une durée Δt ont une échelle au carré Δt, et environ t/Δt incréments s'accumulent pour donner t à la limite
La variation quadratique est-elle la même chose que la volatilité ?
Non. Dans une diffusion, elle est égale à la variance intégrée, tandis que la volatilité est généralement son taux instantané ou une racine carrée normalisée
Quel est l'effet des sauts sur la variation quadratique ?
Chaque saut apporte sa taille au carré ; la variation quadratique contient donc à la fois la variation de la martingale continue et celle des sauts discrets