Lokale Volatilität vs. implizite Volatilität: Quote, Fläche und Modell
Verstehen Sie, wie sich beobachtete implizite Volatilität von einer lokalen Volatilitäts-Zustandsfunktion unterscheidet, wie die Dupire-Kalibrierung beide verbindet und warum diese Unterscheidung wichtig ist
Kurzantwort
Implizite Volatilität ist der konstante Modelleingang, der den Preis einer einzelnen Option reproduziert. Lokale Volatilität ist die momentane Rate eines Modells für jeden Zeitpunkt und jedes Niveau des Basiswerts, abgeleitet aus einer vollständigen Optionsfläche
Implizite Volatilität ist eine Koordinate der Notierung
Nehmen Sie einen beobachteten Optionspreis und lösen Sie ein gewähltes Preismodell nach dem Volatilitätseingang auf, der ihn reproduziert. Das Ergebnis gehört zu diesem Strike, dieser Laufzeit, dieser Quote, diesem Forward und dieser Konvention
Wiederholt man die Inversion über Strikes und Laufzeiten, entsteht eine implizite Volatilitätsfläche. Ihre Schiefe und ihre Laufzeitstruktur drücken relative Optionspreise kompakt aus
IV ist nicht die Volatilität, der der Basiswert in jedem Augenblick folgen muss. Verschiedene Optionen auf denselben Basiswert können zur selben Zeit unterschiedliche IVs haben
Lokale Volatilität ist eine Zustandsfunktion
Ein Modell lokaler Volatilität weist die momentane Volatilität σlocal(t, S) entsprechend dem Zeitpunkt und dem erreichten Niveau des Basiswerts zu
Im Grundmodell gibt es keinen separaten Zufallsfaktor für die Volatilität. Sobald Zeit und Spot bekannt sind, ist der Diffusionskoeffizient durch die kalibrierte Funktion bestimmt
Damit unterscheidet sich lokale Volatilität sowohl von der IV eines einzelnen Kontrakts als auch von der historischen realisierten Volatilität aus vergangenen Renditen
Dupire verbindet eine Preisfläche mit lokaler Varianz
Unter Regularitäts- und Marktannahmen verwendet die Dupire-Gleichung Ableitungen europäischer Call-Preise über Strike und Laufzeit, um die lokale Varianz für jeden Zustand abzuleiten
In der Praxis passt man zuerst eine glatte, arbitragekonsistente implizite Fläche an, wandelt sie in Optionspreise oder Gesamtvarianz um und differenziert die angepasste Fläche
Lokale Volatilität ist daher ein Ergebnis eines inversen Modells. Sie wird nicht direkt aus einer einzelnen Zeile der Optionskette abgelesen
Eine Kalibrierungsanpassung ist keine Wahrheit über die Zukunft
Ein korrekt kalibriertes Modell lokaler Volatilität kann die heutigen Preise europäischer Vanilla-Optionen über die angepasste Fläche reproduzieren, abhängig von Daten, Zinsen, Dividenden und numerischen Entscheidungen
Diese Querschnittsanpassung beweist nicht, dass das Modell die Flächendynamik von morgen vorhersagt. Zwei Modelle können die heutigen Vanilla-Preise treffen und dennoch pfadabhängige oder Forward-Start-Ansprüche unterschiedlich bewerten
Das Modell erzeugt typischerweise eine bestimmte Beziehung zwischen Spot und zukünftiger Volatilität. Tatsächliche Märkte können stochastische Volatilität, Sprünge, Ereignisrisiko oder eine andere Bewegung der Schiefe zeigen
Differentiation verstärkt schlechte Daten
Die Dupire-Berechnung hängt von Ableitungen nach Laufzeit und Strike einschließlich der Krümmung ab. Breite Spreads, spärliche Strikes, sich überschneidende Laufzeiten und verrauschte Interpolation können instabile oder negative lokale Varianz erzeugen
Bereinigen Sie Quotes, verwenden Sie Forward-konsistente Koordinaten, erzwingen Sie Arbitragefreiheitsbedingungen und testen Sie die Extrapolation an den Rändern. Eine visuell glatte IV-Kurve ist nicht automatisch sicher zu differenzieren
Kleine Änderungen an der Fläche können dort große Änderungen der lokalen Volatilität erzeugen, wo die Gamma-Dichte dünn ist. Berichten Sie Kalibrierungsbereich und Regularisierung statt eines unerklärten Gitters
Die beiden Flächen beantworten unterschiedliche Fragen
Die implizite Fläche beantwortet, welche konstante Volatilität jede notierte Option heute neu bepreist. Die lokale Fläche beantwortet, welche zustandsabhängige momentane Diffusion ein Modell zur Reproduktion der Preisfläche benötigt
Keine von beiden ist eine direkte Prognose der realen Welt. Beide werden gewöhnlich in einem risikoneutralen Bewertungsrahmen interpretiert, während realisierte Pfade und Hedging-P&L von tatsächlicher Dynamik und Ausführung abhängen
Wählen Sie ein Modell passend zur Auszahlung
Für Vanilla-Bewertungen kann eine arbitragekontrollierte implizite Fläche ausreichen. Barrieren, Cliquets, Forward-Starts und andere pfadabhängige Auszahlungen benötigen Annahmen über den Pfad und die zukünftige Fläche
Vergleichen Sie lokale, stochastische Volatilitäts-, Sprung- oder Hybridmodelle mit den relevanten Hedges und dem Marktverhalten. Die Modellwahl ist eine Risikoentscheidung und keine kosmetische Umwandlung
Stressen Sie Spot-Schiefe-Dynamik und Kalibrierungsunsicherheit. Wenn ein Trade nur unter einer einzigen angepassten lokalen Fläche funktioniert, gehört diese Modellabhängigkeit in den Risikobericht
Häufige Fragen
Ist lokale Volatilität dasselbe wie implizite Volatilität?
Nein. IV wird für einen Strike und eine Laufzeit invertiert, während lokale Volatilität innerhalb eines Modells als momentane Zustandsfunktion aus einer gesamten Fläche abgeleitet wird
Kann lokale Volatilität die implizite Volatilitätsfläche reproduzieren?
Unter den Modellannahmen und bei einer sauberen arbitragekonsistenten Fläche kann sie so kalibriert werden, dass sie die heutigen Preise europäischer Vanilla-Optionen über diese Fläche reproduziert
Warum ist die Kalibrierung lokaler Volatilität instabil?
Sie differenziert Optionspreise oder angepasste Gesamtvarianz nach Strike und Laufzeit. Differentiation verstärkt spärliche Quotes, Geld-Brief-Rauschen, Interpolationsfehler und Randannahmen
Ist lokale Volatilität eine Prognose der realisierten Volatilität?
Nein. Sie ist ein mit aktuellen Preisen konsistenter risikoneutraler Modelleingang. Tatsächliche realisierte Volatilität und die künftige Smile-Dynamik können sich wesentlich unterscheiden