Black–Scholes d1 gegenüber d2 erklärt
Verstehen Sie die Formeln für d1 und d2, warum N(d1) mit dem Call-Delta zusammenhängt, warum N(d2) die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit eines Verfalls im Geld beschreibt und wo ihre Grenzen liegen.
Kurzantwort
Black–Scholes d1 und d2 komprimieren Spot, Strike, Zeit, Volatilität, Zinsen und Dividenden in standardisierte Koordinaten. Sie erfüllen d2=d1−σ√T. Bei einem europäischen Call ohne Dividenden ist N(d1) das Delta, während N(d2) mit der risikoneutralen Modellwahrscheinlichkeit eines Verfalls im Geld zusammenhängt. Sie sind nicht zwei Schätzungen derselben Wahrscheinlichkeit. N(d2) gewichtet, ob der Strike gezahlt wird, während N(d1) das Aktienengagement unter einem anderen Numeraire gewichtet. Keine der beiden Zahlen ist eine physische Aufwärtsprognose, eine Berührungswahrscheinlichkeit oder eine Gewinnwahrscheinlichkeit nach Prämie.
d1 und d2 verwenden dieselben Eingaben
d1 verbindet die Logarithmus-Moneyness von Spot zu Strike, Zins- und Dividenden-Carry sowie die halbe Varianzkomponente und teilt anschließend durch σ√T.
d2 zieht σ√T von d1 ab. Wenn Volatilität und Zeit positiv sind, ist d2 immer kleiner als d1.
Zeit, annualisierte Volatilität, Zinsen und Dividendenrendite brauchen konsistente Konventionen für Tagzählung und Aufzinsung.
Ihre Differenz ist die Gesamtvolatilität
Die Größe σ√T misst die modellierte Standardabweichungsskala bis zum Verfall; mehr Volatilität oder Zeit vergrößert daher die Lücke zwischen d1 und d2.
Selbst wenn Spot dem Strike entspricht, sorgen Carry und die halbe Varianzkomponente dafür, dass d1 und d2 nicht symmetrisch um null liegen müssen.
Große positive Werte zeigen eine tief im Geld liegende Modellkoordinate, große negative Werte eine tief aus dem Geld liegende und keine vollständige Handelsentscheidung.
N(d2) gewichtet die Strike-Zahlung
Der Preis eines europäischen Calls kann als aktiengewichteter Term minus einem diskontierten, Strike-gewichteten Term geschrieben werden.
N(d2) im Strike-Term hängt mit der risikoneutralen Modellwahrscheinlichkeit zusammen, dass der End-Spot den Strike übersteigt und der Call beim Verfall auszahlt.
Diese Aussage setzt das angegebene kontinuierliche lognormale Modell und den Carry voraus. Sie ist keine empirische Schätzung der Häufigkeit in der realen Welt.
N(d1) gewichtet Aktienengagement und Delta
Bei Black–Scholes ohne Dividenden entspricht das Delta eines Calls N(d1); bei kontinuierlicher Dividendenrendite q lautet es e^(−qT)N(d1).
Delta ist die lokale Änderung des theoretischen Optionswerts bei einer kleinen Änderung des Spotpreises, während die anderen Modelleingaben festgehalten werden.
N(d1) ist mit einem Aktiennumeraire-Gewicht verbunden und unterscheidet sich dadurch von der durch das Geldnumeraire dargestellten Verfallswahrscheinlichkeit, die N(d2) repräsentiert.
Puts benötigen andere Vorzeichen und Ereignisse
Bei einem europäischen Put ist das Ereignis für „im Geld beim Verfall“ ein End-Spot unter dem Strike und hängt im Grundmodell mit N(−d2) zusammen.
Das Delta eines Puts ohne Dividenden ist N(d1)−1; bei kontinuierlichen Dividenden lautet es e^(−qT)(N(d1)−1).
Merken Sie sich einen Call nicht einfach und drehen Sie dann die Vorzeichen um. Bestimmen Sie das Auszahlungsereignis getrennt von der Richtung der Preissensitivität.
Die Umwandlung von Delta in Wahrscheinlichkeit vermischt Fragen
„Im Geld beim Verfall“ fragt, wo der Spot endet; die Berührungswahrscheinlichkeit fragt, ob ein Niveau zu irgendeinem Zeitpunkt entlang des Pfads erreicht wird.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit enthält Einstiegsprämie und Break-even, während eine physische Prognose Risikoprämien und subjektive Einschätzungen enthalten kann.
Ein Delta von 0.30 als „30 % Gewinnwahrscheinlichkeit“ zu lesen, verwechselt N(d1), N(d2), Preis- und physische Maßstäbe sowie Auszahlungsschwellen.
Eine aktuelle Volatilitätsoberfläche verändert die Koordinaten
Die Markt-IV variiert nach Strike und Verfall; die gewählte Volatilität und Konvention der Oberfläche verändern daher d1, d2 und ihre N-Werte.
Amerikanische Ausübung, diskrete Dividenden, Leihekosten und Sprünge schwächen die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der einfachen europäischen Formel.
Plattform-Deltas können abweichen, weil sich Modelle, Quotierungen, Dividenden und Zinsen unterscheiden. Eine angezeigte Zahl ist von diesen Eingaben nicht zu trennen.
Halten Sie Konvention und Frage gemeinsam fest
Erfassen Sie Spot, Strike, Zeitstempel, Zeit bis zum Verfall, IV, Zinsen, Dividenden, Call oder Put und Ausübungsstil.
Wenn Sie d1, d2 oder N-Werte präsentieren, kennzeichnen Sie Delta und risikoneutrale Modellwahrscheinlichkeit des Verfalls im Geld genau.
Fügen Sie für eine Entscheidung Auszahlung, Break-even, Bid-Ask, Oberflächenszenarien und eine vollständige Neubewertung hinzu, statt sich auf eine einzelne Koordinate zu verlassen.
Häufige Fragen
Welcher Wert von d1 oder d2 ist die Wahrscheinlichkeit eines Verfalls im Geld?
Im grundlegenden europäischen Modell hängt die risikoneutrale Verfallswahrscheinlichkeit eines Calls vom Wert N(d2) ab und nicht von einer physischen Prognose.
Warum ist das Call-Delta N(d1) und nicht N(d2)?
Delta differenziert den Preis nach dem Spot und gehört zum aktiengewichteten Term und nicht zum geldgewichteten Endereignis.
Was passiert mit d1 und d2, wenn die Volatilität steigt?
Ihre Lücke wird größer, doch jedes Niveau hängt auch von Moneyness, Carry und der halben Varianzkomponente ab; die Richtung ist daher nicht allgemein festgelegt.
Kann d2 die Wahrscheinlichkeit eines Handelsgewinns berechnen?
Nein. Gewinn hängt davon ab, ob der um die Prämie angepasste Break-even überschritten wird, und nicht nur davon, ob der Schluss jenseits des Strikes liegt.