Das Binomialmodell der Optionsbewertung erklärt
Erfahren Sie, wie ein Binomialbaum mit einstufiger Replikation, risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten, Rückwärtsinduktion und Prüfungen auf vorzeitige Ausübung Optionen bewertet
Kurzantwort
In einem Binomialmodell kann sich der Basiswert in jedem Schritt zu einem Aufwärts- oder Abwärtsknoten bewegen; anschließend wird die Option ausgehend von den Endauszahlungen rückwärts bewertet. Seine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist ein Preisgewicht ohne Arbitrage und keine Prognose für die nächste Marktbewegung
Ein Schritt enthält das Preisargument
Beginnen Sie mit einem Basiswertpreis S. Nach einem Intervall wird daraus im Aufwärtszustand Su oder im Abwärtszustand Sd, wobei u größer als d ist
Die Option zahlt in diesen Zuständen Cᵤ oder C_d. Eine Position im Basiswert plus Barmitteln kann so gewählt werden, dass sie beide Auszahlungen reproduziert
Da das replizierende Portfolio dieselben Zustandsauszahlungen hat, ergibt sich aus No-Arbitrage derselbe aktuelle Wert wie für die Option
Delta und Barmittel replizieren beide Zustände
Die Hedgequote ist die Auszahlungsdifferenz geteilt durch die Preisdifferenz des Basiswerts: delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)
Nach der Wahl von Delta wird die verbleibende Auszahlung in jedem Zustand durch Leihen oder Verleihen bereitgestellt. Die Diskontierung dieses Barbetrags vervollständigt den aktuellen Wert
Diese Konstruktion macht die Ökonomie sichtbar: Der Preis entsteht durch Replikation von Zustand zu Zustand und nicht durch das Raten, welcher Zweig in der Realität wahrscheinlicher ist
Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist ein Preisgewicht
Derselbe Wert kann als diskontierter gewichteter Durchschnitt der beiden künftigen Optionswerte mit einer risikoneutralen Wahrscheinlichkeit q geschrieben werden
Bei konsistentem Carry wird q so gewählt, dass der gewichtete erwartete Basiswert zum risikofreien oder Forward-Satz wächst. Es muss nicht der historischen Häufigkeit von Aufwärtsbewegungen entsprechen
Für No-Arbitrage muss das getragene Wachstum des Basiswerts zwischen d und u liegen, sodass q zwischen null und eins fällt. Ein Scheitern weist auf inkonsistente Baumeingaben hin
Ein rekombinierender Baum begrenzt die Komplexität
Wiederholen Sie die einstufige Konstruktion über viele Intervalle. In einem rekombinierenden Baum führt eine Aufwärtsbewegung gefolgt von einer Abwärtsbewegung zum selben Knoten wie eine Abwärtsbewegung gefolgt von einer Aufwärtsbewegung
Nach n Schritten gibt es n + 1 Endpreisknoten statt 2ⁿ verschiedener Knoten, wodurch die Berechnung praktisch wird
Die Wahl von Cox–Ross–Rubinstein setzt u und d häufig anhand von Volatilität und Schrittweite, mit reziproken Bewegungen, die den Baum rekombinieren lassen
Rückwärtsinduktion erzeugt den heutigen Wert
Berechnen Sie zuerst die vertragliche Auszahlung an jedem Endknoten. Gehen Sie dann einen Schritt rückwärts, indem Sie an jedem übergeordneten Knoten den diskontierten risikoneutralen Wert bilden
Fahren Sie fort, bis Sie die Wurzel erreichen. Jede Zwischenzahl ist ein bedingter Modellwert auf Basis der von diesem Knoten erreichbaren Zustände
Dividenden, Zinsen, Zinsstrukturkurven und wechselnde Volatilität erfordern eine konsistente Behandlung von Schritt zu Schritt und nicht nur eine Anpassung am Ende
Amerikanische Ausübung fügt eine Knotenentscheidung hinzu
Vergleichen Sie an jedem zulässigen Knoten den unmittelbaren Ausübungswert mit dem diskontierten Fortführungswert. Der amerikanische Wert ist der größere der beiden
Diese einfache Maximumsoperation identifiziert eine Ausübungsregion und ist ein wesentlicher Vorteil gegenüber der grundlegenden geschlossenen europäischen Black–Scholes-Formel
Die Ausübungsergebnisse bleiben modellabhängig. Diskrete Dividenden, Leihekosten, Abrechnung und Zeitschritte können die geschätzte Grenze erheblich verschieben
Mehr Schritte verbessern die Näherung, nicht die Wahrheit
Unter geeigneten Wahlbedingungen kann der Binomialpreis bei feineren Schritten gegen das entsprechende zeitstetige Modell wie Black–Scholes konvergieren
Die Konvergenz kann schwanken, je nachdem, wo der Strike im Verhältnis zu den Knoten liegt. Verschiedene Baumparametrisierungen können unterschiedliche Verzerrungen und Stabilitäten haben
Mehr Schritte verringern den Diskretisierungsfehler innerhalb des Modells, reparieren aber keine falsche Volatilität, fehlende Sprünge, falsche Dividenden oder nicht ausführbare Marktkurse
Validieren Sie das Gitter, bevor Sie es verwenden
Prüfen Sie No-Arbitrage-Grenzen, Put-Call-Parität für europäische Ansprüche, Monotonie, Konvexität und Konvergenz bei steigender Schrittzahl
Vergleichen Sie europäische Werte mit einer geschlossenen Formel und amerikanische Werte mit einer unabhängigen Methode. Testen Sie null Zeit, extreme Spotwerte und Dividendendaten
Protokollieren Sie Baumkonvention, Carry, Kalender, Ausübungsplan und Schrittzahl. Ein gemeldeter Preis ohne diese Einstellungen ist nicht reproduzierbar
Häufige Fragen
Was ist ein Binomialbaum in der Optionsbewertung?
Es ist ein diskretes Modell, in dem sich der Basiswert in jedem Schritt nach oben oder unten bewegt und der Optionswert ausgehend von der Endauszahlung rückwärts berechnet wird
Ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktie steigt?
Nicht als Prognose. Sie ist das Preisgewicht, das den getragenen Basiswert innerhalb des Baums mit No-Arbitrage vereinbar macht
Warum rekombiniert ein Binomialbaum?
Die Parameter werden so gewählt, dass ein Aufwärts-Abwärts-Pfad denselben Preis erreicht wie ein Abwärts-Aufwärts-Pfad, wodurch die Zahl verschiedener Knoten sinkt
Kann ein Binomialbaum amerikanische Optionen bewerten?
Ja. An jedem Ausübungsdatum vergleicht er inneren Wert und Fortführungswert und behält den größeren Betrag