Stratonovich- gegenüber Itô-Kalkül erklärt
Erfahren Sie, wie sich stochastische Integrale nach Stratonovich und Itô unterscheiden, wie ihre Driftterme umgerechnet werden und warum Finanzmodelle die Konvention nennen müssen
Kurzantwort
Itô- und Stratonovich-Kalkül beschreiben dieselbe geeignet umgerechnete stochastische Dynamik, werten verrauschte Integranden aber an unterschiedlichen Punkten jedes Intervalls aus. Die Umrechnung fügt einen Driftterm aus der quadratischen Variation hinzu, daher ist eine Gleichung unvollständig, bis ihre Integralkonvention genannt wird
Der Auswertungspunkt verändert das Integral
Ein Itô-Integral verwendet die Information am linken Endpunkt jedes Zeitintervalls. Dadurch ist sein Integrand vorhersehbar und besitzt unter üblichen Annahmen eine Martingaleigenschaft
Ein Stratonovich-Integral verwendet einen Grenzwert im Stil eines Mittelpunkts. Bei glatten Koordinatentransformationen folgt es der gewöhnlichen Kettenregel näher
Keine Notation ist automatisch realistischer. Die passende Konvention folgt aus dem Modellierungsgrenzwert, dem Informationsfluss und der dargestellten Größe
Die Umrechnung der Konvention verändert den Drift
Für eine eindimensionale Diffusion wird dX = a(X)dt + b(X)∘dW in Stratonovich-Form zu dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW in Itô-Form
Der zusätzliche Term ist keine frei wählbare Anpassung. Er entsteht aus der quadratischen Kovariation zwischen dem zustandsabhängigen Integranden und der Brownschen Bewegung
Wenn b konstant ist, ist b' null und beide Formen stimmen überein. Zustandsabhängige Volatilität ist der Punkt, an dem stilles Vermischen teuer wird
Ein Beispiel mit multiplikativem Rauschen macht den Unterschied sichtbar
Nehmen Sie b(X) = σX und einen Stratonovich-Drift von null. Der äquivalente Itô-Drift ist 1/2σ²X
Bei σ = 40 % macht diese Korrektur vor jedem separat festgelegten ökonomischen Drift 8 % von X pro Jahr aus
Diese Zahl ist eine Änderung der Darstellung und keine erwartete Aktienrendite oder handelbare Alpha. Ein Finanzmodell muss weiterhin Maß, Carry, Dividenden und Beschränkungen festlegen [!TRYMARK] Halten Sie die Konvention beim Szenario fest Notieren Sie an einem Stichtag oder Gewinn-Checkpoint den Aktieninput, die IV-Annahme, das Zielergebnis und ob das Modell Itô- oder Stratonovich-Dynamik verwendet. Ein kopierter Drift ohne seine Konvention kann das Pfadergebnis verändern, bevor sich der Markt bewegt
Bewertungsmodelle nennen normalerweise Itô-Dynamik
Modelle für die Bewertung von Assets verwenden häufig Itô-Prozesse, weil selbstfinanzierende Handelsstrategien an die vor dem nächsten Schock verfügbare Information angepasst sind
Itôs Lemma, Martingalmaße und die Standardherleitung von Black-Scholes sind in dieser Konvention formuliert
Physikalische Modelle, die aus Grenzwerten von farbigem Rauschen hergeleitet werden, können natürlich Stratonovich-Gleichungen erzeugen. Wandeln Sie sie um, bevor Sie sie mit einer Itô-Bewertungs- oder Hedgingberechnung verbinden
Die Umrechnung behebt kein Modellrisiko
Eine Gleichung kann korrekt umgerechnet sein und trotzdem Sprünge, stochastische Volatilität, Liquidität, diskretes Hedging oder falsch spezifizierte Parameter auslassen
Mehrdimensionale Systeme erfordern die vollständige Jacobi-Matrix und Kovarianzstruktur und nicht die skalare Abkürzung „halbes b mal b-Strich“
Geben Sie vor dem Vergleich von Ergebnissen immer die SDE, Integralkonvention, das Wahrscheinlichkeitsmaß, die Zeiteinheit und die Interpretation des Rauschens an
Häufige Fragen
Ist Stratonovich-Kalkül korrekter als Itô-Kalkül?
Nein. Bei korrekter Umrechnung sind sie äquivalente Beschreibungen. Die richtige Form hängt davon ab, wie das stochastische Modell entsteht und wie es verwendet wird
Warum ändert sich der Drift bei der Umrechnung?
Der Integrand kann sich mit der Brownschen Bewegung mitbewegen, wenn er vom Zustand abhängt. Seine quadratische Kovariation bleibt als endliche Driftkorrektur bestehen
Kann ich bei einem Itô-Prozess die gewöhnliche Kettenregel verwenden?
Nicht direkt. Itôs Lemma fügt einen Term zweiter Ordnung aus der quadratischen Variation hinzu. Die Stratonovich-Notation stellt die gewöhnlich aussehende Regel nur mit ihrer eigenen Konvention wieder her