Itô-Lemma in der Optionsbewertung erklärt
Erfahren Sie, warum stochastische Funktionen einen zusätzlichen Term zweiter Ordnung benötigen, wie das Itô-Lemma den Optionswert erweitert und wie Delta-Hedging zu einer Bewertungsgleichung führt
Kurzantwort
Das Itô-Lemma ist die Kettenregel für einen stochastischen Prozess. Ein Brownsches Inkrement hat die Größenordnung √dt, daher trägt sein Quadrat zur Ordnung dt bei. Die verbleibende zweite Ableitung verbindet Optionsgamma, Volatilität und zeitliche Entwicklung
Gewöhnliche Kettenregeln übersehen stochastische Variation
Für einen glatten deterministischen Verlauf x(t) wird die Änderung von f(t, x) lokal durch seine Zeitableitung und die erste Ableitung nach x beschrieben
Ein Diffusionspfad ist stetig, aber im gewöhnlichen Sinn nirgends glatt differenzierbar. Sein zufälliges Inkrement über ein kurzes Intervall skaliert wie die Quadratwurzel der Zeit
Diese Skalierung macht einen Taylor-Term zweiter Ordnung so groß wie einen gewöhnlichen Zeitterm. Wenn er weggelassen wird, fehlt der Effekt, der später als Gamma in der Optionsbewertung erscheint
Die quadratische Variation erhält den Term zweiter Ordnung
Schreiben Sie ein Brownsches Inkrement als dW. In der Itô-Buchhaltung trägt dW² zu dt bei, während dt² und dt·dW in der relevanten Ordnung verschwinden
Dies ist eine Kurzform für einen pfadweisen Grenzwert: Die Summe der quadrierten Brownschen Inkremente konvergiert gegen die verstrichene Zeit, wenn eine Partition feiner wird
Es handelt sich nicht um gewöhnliche Algebra, nach der jeder quadrierte Zufallsschock der Zeit entspricht. Die Regel gehört zur stochastischen Integration und ihrer Grenzwertkonvention
Das Lemma erweitert eine Funktion einer Diffusion
Angenommen, dS = μSdt + σSdW und der Optionswert ist V(t, S). Das Itô-Lemma liefert seine lokale stochastische Änderung
Der Drift ist Vₜ + μS Vₛ + ein Halb σ²S²Vₛₛ. Der Zufallsterm ist σS VₛdW, wobei die Indizes partielle Ableitungen bezeichnen
Delta Vₛ multipliziert den Schock erster Ordnung, während Gamma Vₛₛ über die quadratische Variation in den Drift der Zeitordnung eingeht
Gamma verwandelt Volatilität in erwartete lokale Änderung
Selbst wenn der zufällige Preisschock einen bedingten Erwartungswert von null hat, sorgen Konvexität und Asymmetrie dafür, dass positive und negative Bewegungen den Optionswert unterschiedlich beeinflussen
Der Term ein Halb σ²S²Gamma misst diesen lokalen Krümmungsbeitrag. Höhere Volatilität erhöht die Rate, mit der eine gekrümmte Auszahlung modellierten Wert aufbaut
Dies besagt nicht, dass Long-Gamma garantiert einen Gewinn erzielt. Theta, gezahlte Prämie, realisierte Verläufe, Sprünge, Skew-Änderungen und Kosten bestimmen das tatsächliche P&L
Delta-Hedging entfernt den modellierten Zufallsterm
Kombinieren Sie eine Option mit minus ihrem Delta im Basiswert. Unter den Diffusionsannahmen heben sich die dW-Terme sofort auf
Das verbleibende lokale Portfolio ist im Modell risikolos, daher verlangt die Arbitragefreiheit, dass es nach konsistenter Behandlung von Dividenden oder Carry zum risikofreien Zinssatz verdient
Das Einsetzen dieser Bedingung entfernt μ und ergibt die partielle Differentialgleichung von Black–Scholes. Die Replikation und keine Renditeprognose setzt die Preisbeziehung fest
Die Formel leitet auch umfassendere Modelle
Bei mehreren korrelierten Diffusionen enthält die Entwicklung gemischte zweite Ableitungen, gewichtet mit der Kovarianz. Diese Terme verbinden Korrelation mit gemeinsamer Krümmung
Wenn der Zustandsprozess geändert wird, ändern sich Generator und Bewertungsgleichung. Lokale Volatilität, stochastische Volatilität und Zinsmodelle verwenden alle verwandte Itô-Entwicklungen
Für Funktionen, die nicht ausreichend glatt sind, benötigen Grenzen und Knicke eine schwache, verallgemeinerte oder numerische Behandlung statt beiläufiger Differentiation
Sprünge und echtes Hedging brauchen zusätzliche Terme
Ein Sprungprozess passt nicht allein zur kontinuierlichen Brownschen Regel. Seine Änderungsformel enthält diskontinuierliche Sprungbeiträge und führt oft zu einer Integro-Differentialgleichung
Echte Hedges sind diskret und kosten Geld, daher beseitigt die Aufhebung eines infinitesimalen dW-Terms weder Gap-, Liquiditäts-, Parameter- noch Ausführungsrisiko
Verwenden Sie das Itô-Lemma, um die Modellmechanik zu verstehen, und nennen Sie anschließend Prozess, Glattheit, Maß und Handelsannahmen, bevor Sie einen Preis oder ein Greek interpretieren
Häufige Fragen
Warum hat das Itô-Lemma einen zusätzlichen Term?
Brownsche Inkremente skalieren mit √dt, daher ist ihr Quadrat von der Ordnung dt und der Taylor-Term zweiter Ordnung verschwindet nicht
Was bedeutet dW² = dt?
Es fasst die quadratische Variation im stochastischen Grenzwert zusammen; es ist keine gewöhnliche punktweise Gleichheit zwischen einer Zufallszahl und der Zeit
Wie führt das Itô-Lemma zu Black–Scholes?
Es erweitert die lokale Änderung der Option; anschließend hebt ein Delta-Hedge den Diffusionsschock auf und die Arbitragefreiheit bestimmt die verbleibende Rendite
Gilt das Itô-Lemma für Preissprünge?
Die kontinuierliche Version reicht nicht aus. Sprungmodelle benötigen eine erweiterte Änderungsformel mit ausdrücklich enthaltenen diskontinuierlichen Termen