Der Satz von Girsanov in der Optionspreisbildung erklärt
Erfahren Sie, wie der Satz von Girsanov den Brownian-Drift zwischen Wahrscheinlichkeitsmaßen ändert, warum die Volatilität konstant bleibt und wie risikoneutrale Dynamiken entstehen
Kurzantwort
Der Satz von Girsanov zeigt, wie ein absolut stetiger Maßwechsel den Drift eines Brownschen Prozesses verschiebt und dabei seine Diffusion erhält. Unter den angegebenen Bedingungen verwandelt er physische Dynamiken in Preisdynamiken
Physische Dynamiken enthalten einen Drift der erwarteten Rendite
Unter einem physischen Maß P könnte eine Aktie dS/S = μdt + σdWᴾ folgen, wobei μ die modellierte erwartete Rendite darstellt
Dieser Drift ist für Prognosen und Portfolioentscheidungen relevant, aber der arbitragefreie Optionswert sollte in einem vollständigen Diffusionsmodell nicht von einer beliebigen Schätzung von μ abhängen
Der Übergang von physischen Wahrscheinlichkeiten zu Preiswahrscheinlichkeiten erfordert mehr als den Austausch eines Symbols. Er erfordert eine gültige Maßtransformation
Ein Dichteprozess gewichtet ganze Pfade neu
Die Radon-Nikodym-Ableitung definiert, wie das neue Maß Ereignisse bis zu jedem Zeitpunkt im Verhältnis zum alten Maß gewichtet
Für Brownsche Modelle wird diese Dichte häufig als stochastische Exponentialfunktion geschrieben, die aus einem Prozess gebildet wird, der oft mit λ bezeichnet wird
Die Dichte muss positiv bleiben und Erwartungswert eins haben. Andernfalls kann der vorgeschlagene Ausdruck möglicherweise kein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß definieren
Die Brownsche Bewegung erhält einen kompensierenden Drift
Bei einer gültigen Dichte wird Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt unter dem neuen Maß Q zur Brownschen Bewegung, wenn die hier verwendete gemeinsame Vorzeichenkonvention gilt
Durch Einsetzen von dWᴾ = dWᵠ − λdt verschiebt sich der Drift jedes Prozesses, der diesem Brownschen Schock ausgesetzt ist
Der Volatilitätskoeffizient vor dW verschwindet nicht. Äquivalente Maßwechsel bei Diffusionen ändern den Drift und nicht die sofortige Kovarianzstruktur
Der risikoneutrale Drift folgt Finanzierung und Carry
Für eine Aktie ohne Dividende wählt man λ so, dass der Q-Drift zum kurzfristigen Zinssatz r wird. Bei einer Dividendenrendite q ist der Drift ohne Dividende typischerweise r − q
Dann ist der abgezinste Total-Return-Vermögenswert ein Q-Martingal, und ein replizierbarer Payoff kann über seinen abgezinsten Q-Erwartungswert bepreist werden
Das bedeutet nicht, dass die Aktie in der realen Welt tatsächlich r verdient. Es besagt, wie ihr Drift unter dem gewählten Preismessmaß erscheint
Lambda stellt einen Preis für Brownian-Risiko dar
Im einfachen Fall konstanter Koeffizienten gilt unter der angegebenen Vorzeichenkonvention und ohne Dividenden λ = (μ − r) / σ
Bei mehreren Risikoquellen verschiebt ein Vektor von Risikopreisen den Drift über die Volatilitäts-Ladungsmatrix. Nicht jeder gewünschte Drift kann erreicht werden, wenn die Exposures keinen vollen Rang haben
In unvollständigen Märkten können Komponenten des Risikopreises durch gehandelte Vermögenswerte unbestimmt bleiben, sodass mehr als ein zulässiges Martingalmaß entsteht
Der Satz braucht Integrabilitätsbedingungen
Novikov-, Kazamaki- oder verwandte Bedingungen werden häufig verwendet, um sicherzustellen, dass das stochastische Exponential ein echtes und nicht nur ein lokales Martingal ist
Äquivalenz erhält auch Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit null. Eine Transformation kann einen wirklich unmöglichen Pfad nicht möglich machen und dabei äquivalent bleiben
Explosive Koeffizienten, echte lokale Martingale, unendliche Horizonte oder schwache Regularität können eine beiläufige Anwendung der Formel ungültig machen
Sprünge und Umsetzung erfordern einen umfassenderen Maßwechsel
Bei Sprungprozessen kann ein Maßwechsel neben dem kontinuierlichen Drift auch Sprungintensität und Verteilung der Sprunghöhen ändern
Kalibrierte Preismodelle legen risikoneutrale Parameter direkt fest, aber die Verbindung zu physischen Schätzungen erfordert weiterhin ein Risikoprämienmodell
Nennen Sie ursprüngliches Maß, Zielmaß, Dichte, Vorzeichenkonvention, Numeraire, Horizont und Bedingungen, bevor Sie transformierte Dynamiken interpretieren
Häufige Fragen
Was bewirkt der Satz von Girsanov in der Finanzwirtschaft?
Er liefert Bedingungen für einen Wechsel des Wahrscheinlichkeitsmaßes, sodass sich der Brownsche Drift ändert und abgezinste handelbare Preise zu Martingalen werden können
Verändert der Satz von Girsanov die Volatilität?
Bei einem äquivalenten Brownschen Diffusionswechsel verschiebt er den Drift und erhält den momentanen Diffusionskoeffizienten und die Kovarianz
Was ist der Marktpreis des Risikos?
Es ist der Prozess in der Dichte, der Risiko-Exposure zwischen physischem Maß und Preismessmaß in eine Driftanpassung übersetzt
Kann der Satz von Girsanov mit Sprüngen verwendet werden?
Ja, über umfassendere Semimartingal-Ergebnisse, aber Sprungintensität und Gesetz der Sprunghöhe können sich ebenfalls ändern und müssen angegeben werden