Numéraire und Maßwechsel erklärt
Verstehen Sie, wie die Wahl eines Numéraires das Wahrscheinlichkeitsmaß verändert, welche relativen Preise zu Martingalen werden und warum Forward-Maße die Bewertung vereinfachen
Kurzantwort
Ein Numéraire ist eine strikt positive handelbare Anlage, die als Bewertungseinheit dient. Wenn jeder Preis durch diese Anlage geteilt und in das zugehörige Maß gewechselt wird, werden geeignete relative Preise zu Martingalen, was die Auszahlung eines Derivats häufig vereinfacht
Preise werden immer in einer Einheit ausgedrückt
Ein Dollarpreis verwendet die Währung als sichtbare Einheit, während Asset-Pricing-Modelle häufig ein Geldmarktkonto als dynamisches Numéraire verwenden
Wenn Nₜ das gewählte Numéraire ist, lautet der relative Preis des Assets X Xₜ/Nₜ. Dies ist die Menge des Numéraires, die für den Kauf von X benötigt wird
Das Ändern der Einheit erzeugt keinen Wert. Es ordnet dieselben wirtschaftlichen Auszahlungen neu und verändert die bequemste bedingte Erwartung
Ein gültiges Numéraire muss strikt positiv bleiben
Das Numéraire muss über den relevanten Horizont handelbar und strikt positiv sein, damit die Division definiert ist und die Maßdichte gültig bleibt
Eine Anlage, die null erreichen kann, kann im Allgemeinen nicht ohne Lokalisierung oder einen engeren Zustandsraum als globales Numéraire dienen
Finanzierung, Besicherung, Dividenden und Reinvestition müssen bei der Definition des Gesamtrenditewerts des Numéraires konsistent berücksichtigt werden
Jedes Numéraire hat ein zugehöriges Maß
Ausgehend vom Geldmarkt-Numéraire B und dem risikoneutralen Maß Qᴮ definiert ein anderes Numéraire N ein neues Maß Qᴺ über eine Dichte auf Grundlage von N/B
Unter Qᴺ ist jeder zulässige handelbare Preis geteilt durch N ein Martingal. Unter Qᴮ gilt diese Eigenschaft für Preise geteilt durch B
Es gibt keine maßunabhängige Aussage, dass ein roher Assetpreis ein Martingal ist. Numéraire und Maß gehören zusammen
Die Bewertungsidentität bewahrt den ursprünglichen Preis
Eine Auszahlung H bei T kann als Nₜ mal der bedingten Qᴺ-Erwartung von H/N_T bewertet werden
Die Verwendung eines anderen Numéraires verändert sowohl die Auszahlungseinheiten als auch die Wahrscheinlichkeitsgewichte, sodass der Währungswert bei konsistenten Annahmen gleich bleibt
Diese Identität ist eine Bewertungstransformation und keine Prognose, dass die Ereigniswahrscheinlichkeiten eines Maßes physisch wahrscheinlicher sind
Eine Nullkuponanleihe erzeugt das Forward-Maß
Wählen Sie eine Nullkuponanleihe P(t,T) mit Fälligkeit T als Numéraire. Unter dem T-Forward-Maß werden geeignete Forwardpreise für die Lieferung bei T zu Martingalen
Damit kann die stochastische Diskontierung aus einer bei T gezahlten Auszahlung entfernt werden. Caps, Swaptions, Bond-Optionen und andere Zinsansprüche werden dadurch einfacher
Die Fälligkeit muss zum Auszahlungsdatum passen, oder Cashflows müssen sorgfältig zerlegt werden. Ein Forward-Maß vereinfacht nicht alle Termine gleichzeitig
Eine kluge Wahl kann Algebra und Simulationsvarianz reduzieren
Wählen Sie ein Numéraire, das einem positiven Faktor in der Auszahlung ähnelt. Durch die Division kann ein Produkt in einen einfacheren Indikator oder eine Exchange-Option umgewandelt werden
In Monte Carlo kann die transformierte Auszahlung eine geringere Varianz haben oder die Simulation eines separaten Diskontfaktors vermeiden; eine Verbesserung ist jedoch nicht automatisch
Numerische Bequemlichkeit repariert kein inkonsistentes Modell. Das transformierte Maß braucht weiterhin korrekten Drift, korrekte Kovarianz und korrekte Dynamik der Dichte
Dividenden und Fremdwährung machen die Ökonomie deutlich
Bei Aktien muss das handelbare Numéraire reinvestierte Dividenden enthalten und nicht nur den notierten Ex-Dividenden-Kurs
Im Devisenhandel erzeugen inländische und ausländische Geldmarktkonten natürlicherweise inländische und ausländische risikoneutrale Maße
Quanto- und Cross-Currency-Ansprüche zeigen die Driftanpassungen, die durch Korrelationen zwischen Wechselkursen, Assets, Zinsen und dem gewählten Numéraire entstehen
Die Prüfung sollte denselben Währungswert wiederherstellen
Bewerten Sie einen Benchmark unter zwei Numéraires und bestätigen Sie nach der Rückumrechnung der Einheiten die Übereinstimmung innerhalb des analytischen oder numerischen Fehlers
Prüfen Sie Dichtenormalisierung, Martingaltests für relative Assets, Übereinstimmung des Auszahlungsdatums, Gesamtrenditekonventionen und simulierte Driftanpassungen
Dokumentieren Sie Numéraire, zugehöriges Maß, Radon–Nikodym-Ableitung, Abrechnungswährung und alle Cashflowdaten, damit das Ergebnis reproduzierbar ist
Häufige Fragen
Was ist ein Numéraire im Finanzwesen?
Eine strikt positive handelbare Anlage, die als Einheit dient, in der Preise und Auszahlungen anderer Assets ausgedrückt werden
Warum verändert ein Numérairewechsel das Wahrscheinlichkeitsmaß?
Das Maß wird neu gewichtet, sodass Preise relativ zum neuen Numéraire und nicht zum alten die Martingaleigenschaft erfüllen
Was ist ein Forward-Maß?
Es ist das Maß, das zu einem Numéraire aus einer Nullkuponanleihe für eine gewählte Fälligkeit gehört und geeignete Forwardpreise zu Martingalen macht
Verändert die Wahl des Numéraires den Wert einer Option?
Nicht, wenn Modell und Umrechnung konsistent sind. Sie verändert die Darstellung, mit der derselbe Wert berechnet wird