Martingale bei der Optionsbewertung erklärt
Verstehen Sie die bedingte Erwartung, warum abgezinste handelbare Preise unter einem Bewertungsmaß Martingale werden und was das Konzept nicht bedeutet
Kurzantwort
Bei einem Martingal entspricht der bedingte erwartete zukünftige Wert unter einer bestimmten Information und einem bestimmten Maß dem aktuellen Wert. Bei der Optionsbewertung haben korrekt abgezinste handelbare Preise diese Eigenschaft unter einem risikoneutralen Maß.
Die bedingte Erwartung ist die Kerndefinition
Sei Mₜ ein Prozess und Fₜ die zum Zeitpunkt t verfügbare Information. Ein Martingal erfüllt für jeden späteren Zeitpunkt u mit den Bedingungen an die Integrierbarkeit E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ.
Die Bedingung ist entscheidend. Die Prognose verwendet alles, was bereits bekannt ist, und nicht nur einen unbedingten langfristigen Durchschnitt.
Die Definition nennt immer ein Wahrscheinlichkeitsmaß und eine Informationsfiltration. Ein Prozess kann unter einem Maß ein Martingal und unter einem anderen keines sein.
Ein Martingal kann sich bewegen und riskant bleiben
Ein faires Spiel bedeutet nicht, dass der nächste Wert dem aktuellen entspricht. Es bedeutet, dass sich positive und negative bedingte Veränderungen in der Erwartung ausgleichen.
Große Sprünge, breite Verteilungen und pfadabhängige Unsicherheit sind mit der Martingaleigenschaft vereinbar, sofern die erforderlichen Erwartungen existieren.
Ein Martingal bedeutet auch keine unabhängigen Inkremente. Abhängigkeiten können bestehen bleiben, solange die Bedingung an den bedingten Mittelwert erfüllt ist.
Die Abzinsung entfernt das Finanzierungswachstum
Ein handelbarer Vermögenswert weist normalerweise Carry, Dividenden oder Finanzierungseffekte auf. Sein nicht abgezinster Preis muss daher unter einem Bewertungsmaß kein Martingal sein.
Teilen Sie den Wert einschließlich aller Erträge durch den gewählten Numéraire, etwa ein Geldmarktkonto. Unter geeigneten No-Arbitrage-Annahmen wird der abgezinste Prozess zu einem Martingal.
Ein Wechsel des Numéraires verändert das zugehörige Maß und die relativen Preise, die Martingale sind. Die Rechnungseinheit ist Teil der Aussage.
Der Optionswert wird zu einer bedingten Erwartung
Für eine replizierbare Auszahlung H zum Zeitpunkt T entspricht ihr abgezinster heutiger Wert der bedingten Erwartung der abgezinsten Auszahlung unter dem Bewertungsmaß.
Das ist keine Mittelwertbildung anhand historischer Häufigkeiten. Das Maß wird ausgewählt, damit abgezinste handelbare Preise mit der Arbitragefreiheit vereinbar bleiben.
Die Formel verdichtet ein dynamisches Replikationsargument. Sie beseitigt keine Annahmen über Handel, Modellzustände, Dividenden oder Finanzierung.
Der Binomialbaum zeigt den Mechanismus direkt
Wählen Sie die Auf- und Abwärtsgewichte der Bewertung so, dass der erwartete nächste Wert des abgezinsten Basiswerts seinem aktuellen abgezinsten Wert entspricht.
Wenden Sie dieselben Gewichte auf die Optionswerte der nächsten Knoten an und diskontieren Sie rückwärts. Durch Wiederholung dieses Schritts ergibt sich der Preis an der Wurzel.
Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit des Baums ist daher ein Martingalgewicht. Sie behauptet nicht, dass die tatsächliche Aktie eine erwartete Überschussrendite von null hat.
Submartingale und Supermartingale bilden Ungleichungen ab
Ein Submartingal hat einen bedingt erwarteten zukünftigen Wert, der mindestens so groß wie der aktuelle ist; bei einem Supermartingal ist er höchstens so groß.
Diese Konzepte treten bei Beschränkungen, Konsum, amerikanischer Ausübung und Superhedging auf, wo die exakte Gleichheit durch eine einseitige Schranke ersetzt werden kann.
Das Präfix sagt für sich genommen keine handelbare Rendite voraus. Maß, Abzinsung, Zulässigkeit und Integrierbarkeit bestimmen weiterhin die Interpretation.
Optional Stopping erfordert Bedingungen
Es ist verlockend anzunehmen, jede Regel zum Stoppen eines fairen Spiels bewahre dessen Erwartung. Sätze zum Optional Stopping verlangen jedoch Beschränktheit, Integrierbarkeit oder verwandte Bedingungen.
Verdoppelungsstrategien können die Zulässigkeit verletzen oder unbegrenztes Kapital erfordern. Sie schaffen aus der Martingaldefinition keine praktische Arbitrage.
Stopp-Probleme bei amerikanischen Optionen verwenden sorgfältig definierte Ausübungszeiten und Wertprozesse und nicht das uneingeschränkte Versprechen, dass das Timing keine Rolle spielen kann.
Modell und Markt sind nicht dasselbe Objekt
Beobachtete Preise enthalten Spreads, veraltete Quotes, Beschränkungen und diskreten Handel. Ein Modellmartingal ist eine Aussage innerhalb bestimmter Idealisierungen.
Strikte lokale Martingale, Blasen, unbeschränkte Ansprüche und Fragen zur Existenz eines Maßes zeigen, warum technische Bedingungen nicht immer übersprungen werden können.
Bevor Sie eine Martingalformel anwenden, nennen Sie Prozess, Maß, Numéraire, Filtration, Integrierbarkeit der Auszahlung und verfügbare Handelsstrategien.
Häufige Fragen
Was ist ein Martingal in einfachen Worten?
Bei der aktuellen Information entspricht sein erwarteter zukünftiger Wert unter dem angegebenen Wahrscheinlichkeitsmaß seinem aktuellen Wert.
Bleibt ein Martingalpreis konstant?
Nein. Sein realisierter Pfad kann sich stark bewegen; eingeschränkt ist nur der bedingte Mittelwert seines zukünftigen Werts.
Warum werden Aktienpreise bei der Martingalbewertung abgezinst?
Die Abzinsung durch den Numéraire entfernt das modellierte Finanzierungswachstum, sodass relative handelbare Werte die Martingalbedingung erfüllen können.
Ist der reale Aktienpreis ein Martingal?
Nicht als maßfreie Aussage. Prozess, Dividenden, Numéraire, Information und Wahrscheinlichkeitsmaß müssen alle festgelegt werden.