Monte-Carlo-Simulation zur Optionsbewertung erklärt
Erfahren Sie, wie die Monte-Carlo-Optionsbewertung simulierte risikoneutrale Pfade in einen Wert umwandelt, wie sich Stichprobenfehler verhalten und wie Pfadabhängigkeit und vorzeitige Ausübung behandelt werden
Kurzantwort
Bei der Monte-Carlo-Optionsbewertung werden Pfade unter einem gewählten Modell simuliert, jede Auszahlung berechnet und abgezinst und die Ergebnisse gemittelt. Sie schätzt den Wert dieses Modells mit einem Stichprobenfehler; sie entdeckt nicht den wahren Marktprozess
Bewertung wird zu einer abgezinsten Erwartung
Unter einem gewählten risikoneutralen Modell kann der Wert eines replizierbaren Derivats als Barwert seiner künftigen Auszahlung geschrieben werden, gemittelt über die Modellzustände
Für einige einfache Ansprüche ist eine geschlossene Integration möglich. Monte Carlo ersetzt ein nicht beherrschbares Integral durch ein aus Zufallszahlen erzeugtes Stichprobenmittel
Die Methode ist flexibel, weil die Auszahlung von mehreren Assets, Zeitpunkten, Durchschnitten, Barrieren oder anderen Pfadmerkmalen abhängen kann, ohne dass für jeden Anspruch eine neue Formel erforderlich ist
Die Pfade müssen dem Bewertungsmodell folgen
Wählen Sie die Dynamik der zugrunde liegenden Faktoren und simulieren Sie dann ihre Inkremente von heute bis zu den relevanten Beobachtungs- und Zahlungsterminen
Unter dem Bewertungsmaß verwendet der Drift den Carry des Modells und nicht die Richtungsprognose eines Analysten. Korrelationen, Dividenden, Zinsen und die Dynamik der Volatilität müssen zusammenpassen
Die Zeitdiskretisierung führt zu einem Bias, wenn ein stetiger Prozess auf einem Gitter angenähert wird. Barrieren, Sprünge und schnell wechselnde Volatilität können feinere oder spezielle Schritte erfordern
Jeder Pfad erzeugt eine abgezinste Auszahlung
Für einen europäischen Call braucht jeder Pfad nur seinen Endwert: Die Auszahlung ist der positive Teil aus Endwert minus Strike
Eine asiatische Option braucht zusätzlich die abgetasteten Durchschnitte; eine Barrier-Option muss wissen, ob ein Niveau überschritten wurde; ein Basket braucht gemeinsam simulierte Bestandteile
Mitteln Sie die abgezinsten Pfadauszahlungen, um den Schätzer zu erhalten. Zahlungszeitpunkt und Diskontfaktoren müssen zum Kontrakt passen und dürfen nicht erst nachträglich am Ende angewendet werden
Der Stichprobenfehler ist messbar, aber kein Modellfehler
Da eine endliche Stichprobe zufällig ist, liefert ein anderer Zufalls-Seed eine leicht andere Schätzung. Der Standardfehler sinkt ungefähr mit der Quadratwurzel der Pfadanzahl
Eine Verhundertfachung der Pfade reduziert den gewöhnlichen Stichprobenfehler daher ungefähr um den Faktor zehn, nicht um den Faktor hundert. Präzision wird zunehmend teurer
Ein Konfidenzintervall beschreibt die Unsicherheit des Stichprobenmittels unter dem programmierten Modell. Es enthält keine falsche Dynamik, falsche Eingaben, Diskretisierung oder Implementierungsfehler
Varianzreduktion liefert mehr Präzision pro Pfad
Antithetische Variablen paaren entgegengesetzte Schocks. Eine Kontrollvariable verwendet eine verwandte Auszahlung mit bekanntem Wert, um gemeinsame Störungen zu entfernen
Auch Stratifizierung, quasizufällige Folgen, Konditionierung und gemeinsame Zufallszahlen können helfen. Ihr Nutzen hängt von Glattheit der Auszahlung, Dimension und Implementierung ab
Geben Sie die Technik zusammen mit der Fehler-Schätzung an. Eine scheinbar stabile Zahl ohne unabhängigen Benchmark kann einen Bias statt höherer Präzision verbergen
Vorzeitige Ausübung erfordert eine Fortsetzungsentscheidung
Eine einfache Vorwärtssimulation bewertet natürlicherweise Auszahlungen, die bei Fälligkeit bestimmt werden. Eine amerikanische Option vergleicht jedoch an vielen Zeitpunkten die sofortige Ausübung mit dem Wert des Weiterhaltens
Longstaff–Schwartz schätzt den Fortsetzungswert, indem spätere abgezinste Cashflows auf Funktionen des aktuellen Zustands regressiert werden, und wendet dann rückwärts in der Zeit eine Ausübungsregel an
Das Ergebnis hängt von Basisfunktionen, Pfaden, Ausübungszeitpunkten und Zustandsvariablen ab. Eine schlechte Regression kann die Regel verzerren, selbst wenn die Endsimulation korrekt ist
Die Validierung braucht mehrere Konvergenzprüfungen
Reproduzieren Sie zuerst einen Kontrakt mit einer vertrauenswürdigen geschlossenen Formel oder einer unabhängigen numerischen Methode. Variieren Sie danach Pfadanzahl, Zeitschritt, Seed und Einstellungen zur Varianzreduktion
Verfolgen Sie Schätzung, Standardfehler, Laufzeit und Diskretisierungstrend separat. Mehr Pfade reduzieren Stichprobenrauschen, reparieren aber kein verzerrtes Zeitgitter und kein verzerrtes Modell
Für den Produktionseinsatz sollten Konventionen eingefroren, Randfälle getestet, Seeds und Versionen aufgezeichnet und neben Preisen auch Greeks verglichen werden. Reproduzierbarkeit ist Teil der Bewertung
Häufige Fragen
Wie viele Monte-Carlo-Pfade sind ausreichend?
Es gibt keine allgemeine Anzahl. Verwenden Sie einen ausgewiesenen Standardfehler, die Konvergenz bei größeren Stichproben und eine für die Entscheidung passende Toleranz
Sagt Monte Carlo den künftigen Aktienkurs voraus?
Nein. Bewertungspfade sampeln ein gewähltes risikoneutrales Modell, um Auszahlungen zu bewerten; sie sind keine Prognose für den einen realen Pfad, der eintreten wird
Warum konvergiert Monte Carlo langsam?
Der gewöhnliche Stichprobenfehler fällt ungefähr mit eins durch die Quadratwurzel der Pfadanzahl. Für jede zusätzliche Dezimalstelle an Präzision kann daher deutlich mehr Rechenaufwand nötig sein
Kann Monte Carlo amerikanische Optionen bewerten?
Ja, aber einfaches Mitteln am Laufzeitende reicht nicht. Methoden wie Longstaff–Schwartz schätzen den Fortsetzungswert und eine Ausübungsregel rückwärts durch die Zeit