อธิบาย Black–Scholes d1 เทียบกับ d2
ทำความเข้าใจสูตร d1 และ d2 เหตุใด N(d1) จึงเกี่ยวข้องกับ call delta เหตุใด N(d2) จึงเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ที่หมดอายุในสถานะ ITM และข้อจำกัดของทั้งคู่
คำตอบโดยตรง
Black–Scholes d1 และ d2 บีบ spot, strike, เวลา volatility อัตรา และเงินปันผลให้เป็นพิกัดมาตรฐาน ทั้งคู่มีความสัมพันธ์ d2=d1−σ√T สำหรับ European call ที่ไม่มีเงินปันผล N(d1) คือ delta ขณะที่ N(d2) เชื่อมกับความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ของโมเดลที่จะหมดอายุในสถานะ in the money ทั้งคู่ไม่ใช่การประมาณความน่าจะเป็นเดียวกัน N(d2) ให้น้ำหนักว่าต้องจ่าย strike หรือไม่ ส่วน N(d1) ให้น้ำหนักการรับหุ้นภายใต้ numeraire อื่น ไม่มีค่าใดเป็นการพยากรณ์ขาขึ้นจริง ความน่าจะเป็นที่จะ touch หรือความน่าจะเป็นกำไรหลังพรีเมียมโดยตรง
d1 และ d2 ใช้ input เดียวกัน
d1 รวม log spot-to-strike moneyness, rate และ dividend carry กับครึ่งหนึ่งของพจน์ variance แล้วหารด้วย σ√T
d2 ลบ σ√T ออกจาก d1 เมื่อ volatility และเวลาเป็นบวก d2 จะต่ำกว่า d1 เสมอ
เวลา volatility รายปี อัตรา และ dividend yield ต้องใช้ convention ของ day-count และ compounding ที่สอดคล้องกัน
ผลต่างของทั้งคู่คือ volatility รวม
ปริมาณ σ√T วัดสเกล standard deviation ที่โมเดลไว้จนถึงหมดอายุ ดังนั้น volatility หรือเวลาที่มากขึ้นทำให้ช่องว่าง d1–d2 กว้างขึ้น
แม้ spot เท่ากับ strike carry และพจน์ครึ่ง variance ก็ทำให้ d1 กับ d2 ไม่จำเป็นต้องสมมาตรรอบศูนย์
ค่าบวกมากหมายถึงพิกัดในโมเดลแบบ deep-ITM ค่าลบมากหมายถึง deep OTM ไม่ใช่คำตัดสินเทรดทั้งหมด
N(d2) ให้น้ำหนักการจ่าย strike
ราคา European call เขียนได้เป็นพจน์ที่ถ่วงด้วยหุ้นลบด้วยพจน์ strike ที่ถ่วงและ discount
N(d2) ในพจน์ strike เชื่อมกับความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ของโมเดลที่ spot ปลายทางสูงกว่า strike และ call จ่ายเมื่อหมดอายุ
คำกล่าวนี้สมมติ continuous lognormal model และ carry ที่ระบุ ไม่ใช่การประมาณความถี่ในโลกจริงจากข้อมูลเชิงประจักษ์
N(d1) ให้น้ำหนักการรับหุ้นและ delta
สำหรับ Black–Scholes call ที่ไม่มีเงินปันผล delta เท่ากับ N(d1) และเมื่อมี continuous dividend yield q จะเป็น e^(−qT)N(d1)
Delta คือการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่ของมูลค่า option ต่อการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของ spot โดยตรึง input อื่นของโมเดล
N(d1) เชื่อมกับน้ำหนักภายใต้ stock-numeraire จึงต่างจากความน่าจะเป็นเมื่อหมดอายุภายใต้ cash-numeraire ที่ N(d2) แทน
Put ต้องใช้เครื่องหมายและเหตุการณ์ต่างกัน
สำหรับ European put เหตุการณ์ ITM เมื่อหมดอายุคือ spot ปลายทางต่ำกว่า strike และเชื่อมกับ N(−d2) ในโมเดลพื้นฐาน
Put ที่ไม่มีเงินปันผลมี delta เป็น N(d1)−1 และเมื่อมีเงินปันผลต่อเนื่องจะเป็น e^(−qT)(N(d1)−1)
อย่าจำ call แล้วกลับเครื่องหมายแบบลวก ๆ ให้ระบุเหตุการณ์ของ payoff แยกจากทิศทางความไวของราคา
การเปลี่ยน delta เป็น probability ทำให้คำถามปะปนกัน
ITM เมื่อหมดอายุถามว่า spot ปิดที่ใด ส่วนความน่าจะเป็น touch ถามว่าระดับหนึ่งถูกแตะ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งหรือไม่
Probability of profit รวมพรีเมียมตอนเข้าและจุดคุ้มทุน ขณะที่การพยากรณ์เชิงกายภาพอาจรวม risk premium และความเชื่อส่วนบุคคล
การอ่าน delta 0.30 ว่า “มีโอกาสกำไร 30%” ทำให้ N(d1), N(d2), measure ด้านราคาและโลกจริง และ threshold ของ payoff สับสนกัน
Volatility surface จริงทำให้พิกัดเปลี่ยน
Market IV เปลี่ยนตาม strike และ expiration ดังนั้น volatility และ convention ของ surface ที่เลือกจะเปลี่ยน d1, d2 และค่า N
การใช้สิทธิแบบ American เงินปันผลไม่ต่อเนื่อง borrow cost และ jump ลดความตรงไปตรงมาของการตีความ probability ในสูตร European
Delta บนแพลตฟอร์มอาจต่างกันเพราะโมเดล ราคาเสนอ เงินปันผล และอัตราต่างกัน ตัวเลขที่แสดงแยกจาก input เหล่านี้ไม่ได้
รายงานทั้ง convention และคำถาม
บันทึก spot, strike, timestamp, เวลาถึงหมดอายุ, IV, อัตรา, เงินปันผล, call หรือ put และรูปแบบการใช้สิทธิ
เมื่อแสดง d1, d2 หรือค่า N ให้ระบุ delta และความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ของโมเดลที่ ITM เมื่อหมดอายุอย่างแม่นยำ
สำหรับการตัดสินใจ ให้เพิ่ม payoff จุดคุ้มทุน bid-ask สถานการณ์ของ surface และการ reprice เต็มรูปแบบ แทนการพึ่งพาพิกัดเดียว
คำถามที่พบบ่อย
d1 หรือ d2 ตัวใดคือความน่าจะเป็นที่จะหมดอายุ ITM?
ในโมเดล European พื้นฐาน ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ของ call ที่ ITM เมื่อหมดอายุเชื่อมกับ N(d2) ไม่ใช่การพยากรณ์ในโลกจริง
เหตุใด call delta จึงเป็น N(d1) ไม่ใช่ N(d2)?
Delta หาอนุพันธ์ของราคาต่อ spot และอยู่ในพจน์ที่ถ่วงด้วยหุ้น ไม่ใช่เหตุการณ์ปลายทางที่ถ่วงด้วยเงินสด
เมื่อ volatility สูงขึ้น d1 และ d2 เป็นอย่างไร?
ช่องว่างกว้างขึ้น แต่แต่ละระดับยังขึ้นกับ moneyness carry และพจน์ครึ่ง variance ทิศทางจึงไม่เป็นสากล
d2 คำนวณความน่าจะเป็นกำไรของเทรดได้หรือไม่?
ไม่ได้ กำไรขึ้นกับการผ่านจุดคุ้มทุนที่ปรับด้วยพรีเมียม ไม่ใช่เพียงการปิดเลย strike