อธิบาย Numeraire และการเปลี่ยน Measure
ทำความเข้าใจว่าการเลือก numeraire เปลี่ยน measure ของความน่าจะเป็นอย่างไร ราคาสัมพัทธ์ใดจะกลายเป็น martingale และเหตุใด forward measure จึงทำให้การกำหนดราคาง่ายขึ้น
คำตอบโดยตรง
Numeraire คือสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้และมีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ซึ่งใช้เป็นหน่วยของมูลค่า การหารราคาทุกตัวด้วยสินทรัพย์นั้นและย้ายไปยัง measure ที่เกี่ยวข้องทำให้ราคาสัมพัทธ์ที่เข้าเกณฑ์เป็น martingale และมักทำให้ payoff ของอนุพันธ์คำนวณง่ายขึ้น
ราคาแสดงอยู่ในหน่วยหนึ่งเสมอ
ราคาดอลลาร์ใช้สกุลเงินเป็นหน่วยที่มองเห็นได้ ขณะที่โมเดลการกำหนดราคาสินทรัพย์มักใช้บัญชีตลาดเงินเป็น numeraire แบบพลวัต
หาก Nₜ เป็น numeraire ที่เลือก ราคาสัมพัทธ์ของสินทรัพย์ X คือ Xₜ/Nₜ นี่คือจำนวน numeraire ที่ต้องใช้เพื่อซื้อ X
การเปลี่ยนหน่วยไม่ได้สร้างมูลค่าใหม่ แต่จัดระเบียบ payoff ทางเศรษฐกิจชุดเดิมและเปลี่ยน conditional expectation ที่สะดวกที่สุด
Numeraire ที่ใช้ได้ต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัด
Numeraire ต้องซื้อขายได้และเป็นบวกอย่างเคร่งครัดตลอดช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง เพื่อให้การหารมีนิยามและ density ของ measure ยังคงใช้ได้
สินทรัพย์ที่สามารถมีค่าเป็นศูนย์โดยทั่วไปไม่สามารถทำหน้าที่เป็น numeraire ระดับโลกได้ หากไม่มี localization หรือ state space ที่แคบกว่า
Funding, collateral, dividends และ reinvestment ต้องถูกรวมอย่างสอดคล้องกันเมื่อกำหนดมูลค่า total-return ของ numeraire
Numeraire แต่ละตัวมี measure ที่เกี่ยวข้อง
เริ่มจาก numeraire ตลาดเงิน B และ risk-neutral measure Qᴮ, numeraire อีกตัว N กำหนด measure ใหม่ Qᴺ ผ่าน density ที่อิงจาก N/B
ภายใต้ Qᴺ ราคาของสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้ซึ่งเข้าเกณฑ์ทุกตัวเมื่อหารด้วย N จะเป็น martingale ภายใต้ Qᴮ ราคาที่หารด้วย B มีคุณสมบัตินี้แทน
ไม่มีข้ออ้างที่ไม่ขึ้นกับ measure ว่าราคาสินทรัพย์ดิบเป็น martingale Numeraire และ measure เดินทางคู่กัน
อัตลักษณ์การประเมินมูลค่ารักษาราคาเดิมไว้
Payoff H ที่ T มีมูลค่าเป็น Nₜ คูณด้วย Qᴺ conditional expectation ของ H/N_T
การใช้ numeraire อื่นเปลี่ยนทั้งหน่วยของ payoff และน้ำหนักความน่าจะเป็น ดังนั้นมูลค่าในสกุลเงินยังคงเท่าเดิมเมื่อสมมติฐานสอดคล้องกัน
อัตลักษณ์นี้เป็นการแปลงเพื่อการกำหนดราคา ไม่ใช่การพยากรณ์ว่าเหตุการณ์ภายใต้ measure หนึ่งมีโอกาสเกิดจริงทางกายภาพมากกว่า
พันธบัตร zero-coupon สร้าง forward measure
เลือกพันธบัตร zero-coupon ที่มีอายุครบกำหนด T ซึ่งเขียนเป็น P(t,T) เป็น numeraire ภายใต้ T-forward measure ราคาฟอร์เวิร์ดที่ส่งมอบใน T และเข้าเกณฑ์จะเป็น martingale
สิ่งนี้สามารถนำ stochastic discounting ออกจาก payoff ที่จ่ายใน T และทำให้ caps, swaptions, bond options และสิทธิเรียกร้องอัตราดอกเบี้ยอื่นง่ายขึ้น
อายุต้องตรงกับวันที่จ่าย payoff หรือไม่เช่นนั้นต้องแยก cash flows อย่างระมัดระวัง Forward measure หนึ่งแบบไม่ได้ทำให้ทุกวันที่ง่ายขึ้นพร้อมกัน
การเลือกอย่างเหมาะสมอาจลดพีชคณิตและความแปรปรวนของการจำลอง
เลือก numeraire ที่คล้ายกับปัจจัยบวกใน payoff การหารด้วยมันอาจเปลี่ยนผลคูณให้เป็น indicator ที่ง่ายขึ้นหรือเป็น exchange option
ใน Monte Carlo payoff ที่แปลงแล้วอาจมีความแปรปรวนต่ำลงหรือไม่ต้องจำลอง discount factor แยกต่างหาก แม้การปรับปรุงจะไม่เกิดขึ้นโดยอัตโนมัติ
ความสะดวกเชิงตัวเลขไม่สามารถแก้โมเดลที่ไม่สอดคล้องกันได้ Measure ที่แปลงแล้วก็ยังต้องมี drift, covariance และ density dynamics ที่ถูกต้อง
Dividends และสกุลเงินต่างประเทศทำให้เศรษฐศาสตร์ชัดขึ้น
สำหรับหุ้น numeraire ที่ซื้อขายได้ต้องรวม dividends ที่นำกลับไปลงทุน ไม่ใช่เฉพาะราคาที่แสดงแบบ ex-dividend
ในตลาดแลกเปลี่ยนเงินตรา บัญชีตลาดเงินในประเทศและต่างประเทศสร้าง domestic และ foreign risk-neutral measures โดยธรรมชาติ
Quanto และสิทธิเรียกร้อง cross-currency แสดง drift adjustments ที่เกิดจากความสัมพันธ์ระหว่างอัตราแลกเปลี่ยน สินทรัพย์ อัตราดอกเบี้ย และ numeraire ที่เลือก
การตรวจสอบควรได้มูลค่าในสกุลเงินเดียวกัน
กำหนดราคาของ benchmark ภายใต้ numeraire สองแบบ และยืนยันว่าผลตรงกันภายในความคลาดเคลื่อนเชิงวิเคราะห์หรือเชิงตัวเลขหลังแปลงหน่วยกลับ
ตรวจ normalization ของ density การทดสอบ martingale สำหรับสินทรัพย์สัมพัทธ์ การจัดแนววันที่จ่าย payoff convention ของ total-return และ drift adjustments ที่จำลอง
บันทึก numeraire, measure ที่เกี่ยวข้อง, อนุพันธ์ Radon–Nikodym, สกุลเงินชำระราคา และวันที่ของ cash flow ทั้งหมด เพื่อให้ทำซ้ำผลลัพธ์ได้
คำถามที่พบบ่อย
Numeraire ในการเงินคืออะไร
คือสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้และเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ซึ่งใช้เป็นหน่วยในการแสดงราคาสินทรัพย์และ payoff อื่น
ทำไมการเปลี่ยน numeraire จึงเปลี่ยน measure ของความน่าจะเป็น
Measure ถูกถ่วงน้ำหนักใหม่เพื่อให้ราคาที่สัมพันธ์กับ numeraire ใหม่ แทนที่จะเป็นตัวเดิม มีคุณสมบัติ martingale
Forward measure คืออะไร
คือ measure ที่เกี่ยวข้องกับ numeraire ซึ่งเป็นพันธบัตร zero-coupon สำหรับอายุครบกำหนดที่เลือก ทำให้ราคาฟอร์เวิร์ดที่เหมาะสมเป็น martingale
การเลือก numeraire เปลี่ยนมูลค่าของออปชันหรือไม่
ไม่ หากโมเดลและการแปลงสอดคล้องกัน มันเปลี่ยนรูปแบบที่ใช้คำนวณมูลค่าเดียวกัน