อธิบาย Radon–Nikodym Derivative ในการเงิน
เรียนรู้ว่า Radon–Nikodym derivative ถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นใหม่ แปลง expectation สร้าง density process และสนับสนุนการประเมินราคาแบบ risk-neutral อย่างไร
คำตอบโดยตรง
Radon–Nikodym derivative dQ/dP คือความหนาแน่นที่ไม่เป็นลบและแสดงว่า Q ถ่วงน้ำหนักผลลัพธ์ใหม่เมื่อเทียบกับ P อย่างไร มันแปลง Q-expectations เป็น P-expectations แบบถ่วงน้ำหนัก และเชื่อมโยง measure ทางกายภาพกับ measure ด้านราคาโดยไม่เปลี่ยนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้
Absolute continuity ทำให้มี density ได้
Q absolutely continuous เมื่อเทียบกับ P เขียนว่า Q ≪ P เมื่อทุกเหตุการณ์ที่เป็น P-null ก็เป็น Q-null ด้วย
Radon–Nikodym theorem จึงให้ density ที่ไม่เป็นลบ Z = dQ/dP ซึ่งมีเอกลักษณ์ยกเว้นเซตที่เป็น P-null
หาก P และ Q equivalent แต่ละ measure จะ absolutely continuous เมื่อเทียบกับอีก measure และทั้งสองเห็นตรงกันว่าเหตุการณ์ใดเป็นไปไม่ได้
Density จัดสรรความน่าจะเป็นทีละสถานะ
สำหรับเหตุการณ์ A ใด ๆ Q(A) = E_P[Z 1_A] สำหรับ probability measures, E_P[Z] = 1
ค่า Z ที่มากกว่าหนึ่งเพิ่มน้ำหนักสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ภายใต้ Q ส่วนค่าที่ต่ำกว่าหนึ่งลดน้ำหนักลง
Z ไม่ใช่อนุพันธ์เทียบกับเวลาหรือราคา แต่เป็น density ของ measure หนึ่งเมื่อเทียบกับอีก measure
Expectations เปลี่ยนด้วยการคูณ
สำหรับ payoff X ที่อินทิเกรตได้ E_Q[X] = E_P[ZX] โดยอยู่ภายใต้เงื่อนไข integrability ที่จำเป็น
เอกลักษณ์นี้เปลี่ยนน้ำหนัก ไม่ได้เปลี่ยน payoff หรือ sample space ผลลัพธ์ X เดิมถูกหาค่าเฉลี่ยด้วยวิธีที่ต่างกัน
เมื่อ measures equivalent และ Z เป็นบวก dP/dQ = 1/Z ถือจริง Q-almost surely การเปลี่ยน density ยังเป็นไปตาม chain rule
เป็น analogue ต่อเนื่องของ likelihood ratio
ในแบบจำลอง finite state, Z_s = q_s/p_s เมื่อ p_s เป็นบวก ดังนั้น q_s = p_s Z_s
นี่คือเหตุผลเดียวกับ importance sampling: สุ่มตัวอย่างภายใต้ distribution หนึ่งแล้วปรับค่าเฉลี่ยด้วย likelihood ratio
Density ที่แปรผันมากจะกระจายน้ำหนักไปยังไม่กี่สถานะ และอาจสร้างค่าประมาณ Monte Carlo ที่ไม่เสถียร แม้เอกลักษณ์จะถูกต้อง
Density process เปิดเผยข้อมูลตามเวลา
เมื่อกำหนด density ปลายทาง Z_T ให้กำหนด Z_t = E_P[Z_T | F_t] กระบวนการนี้เป็น P-martingale ที่ไม่เป็นลบ
Conditional expectation เป็นไปตาม E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t เมื่อ Z_t เป็นบวก
Filtration มีความสำคัญเพราะ Z_t บันทึกส่วนของการถ่วงน้ำหนักปลายทางที่มองเห็นได้จากข้อมูลซึ่งมีอยู่ในเวลา t
Pricing measure ใช้ density ที่ equivalent
แบบจำลองการกำหนดราคาสินทรัพย์แสวงหา measure Q ที่ equivalent ซึ่งราคาซื้อขายที่ discount อย่างถูกต้องเป็น martingale หรือ local martingale ภายใต้ Q
Girsanov's theorem อธิบายว่า density เปลี่ยน drift ของ Brownian อย่างไร โดยรักษาความไม่แน่นอนของ diffusion และ null events ไว้
เมื่อใช้ money-market numeraire stochastic discount factor สามารถเขียนเป็น discounting คูณ dQ/dP ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม
การตีความและการประมาณค่าต้องระมัดระวัง
Risk-neutral Q เป็น pricing measure ไม่ใช่การพยากรณ์ความถี่ในโลกจริงภายใต้ P โดยจำเป็น
Density ที่เสนอจะต้องไม่เป็นลบ อินทิเกรตได้เป็นหนึ่ง เคารพ filtration และทำให้สินทรัพย์ที่ discount ตามที่ตั้งใจเป็น martingale
รายงาน base และ target measures, numeraire, horizon, convention ของ density, integrability และ diagnostics เชิงตัวเลขก่อนใช้ expectation ที่แปลงแล้ว
คำถามที่พบบ่อย
Radon–Nikodym derivative ในภาษาง่าย ๆ คืออะไร?
มันคือ likelihood ratio ที่บอกว่า measure ความน่าจะเป็นหนึ่งให้ weight กับผลลัพธ์แต่ละแบบมากหรือน้อยกว่าอีก measure เท่าไร
ทำไม Q ต้อง absolutely continuous เมื่อเทียบกับ P?
มิฉะนั้น Q อาจกำหนดความน่าจะเป็นเป็นบวกให้เหตุการณ์ที่ P ถือว่าเป็นไปไม่ได้ ซึ่ง density ที่มีค่าจำกัดเมื่อเทียบกับ P ไม่สามารถกู้คืนได้
dQ/dP เป็นอนุพันธ์ตามเวลาหรือไม่?
ไม่ใช่ มันคือ density ของ measure Q เมื่อเทียบกับ P ส่วน density process ที่มีดัชนีเวลาสร้างจาก conditional expectation
มันเกี่ยวข้องกับการกำหนดราคาแบบ risk-neutral อย่างไร?
มันให้การเปลี่ยนน้ำหนักจาก probability ทางกายภาพไปสู่ probability ด้านราคา เพื่อให้ราคาสินทรัพย์ซื้อขายที่ discount แล้วกลายเป็น martingale ภายใต้ Q