อธิบาย martingale ในการกำหนดราคาออปชัน

ให้ Mₜ เป็นกระบวนการและ Fₜ เป็นข้อมูลที่มีอยู่ ณ เวลา t martingale เป็นไปตาม E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ สำหรับทุกเวลา u ในภายหลัง ภายใต้เงื่อนไขด้าน integrability

การมีเงื่อนไขเป็นสิ่งสำคัญ การพยากรณ์ใช้ทุกอย่างที่รู้อยู่แล้ว ไม่ใช่เพียงค่าเฉลี่ยระยะยาวแบบไม่มีเงื่อนไข

คำนิยามต้องระบุ probability measure และ filtration ของข้อมูลเสมอ กระบวนการอาจเป็น martingale ภายใต้ measure หนึ่งแต่ไม่เป็นภายใต้อีก measure

เกมที่ยุติธรรมไม่ได้หมายความว่าค่าถัดไปเท่ากับค่าปัจจุบัน หมายความว่าการเปลี่ยนแปลงแบบมีเงื่อนไขทางบวกและลบสมดุลกันในค่าเฉลี่ย

การกระโดดขนาดใหญ่ การกระจายกว้าง และความไม่แน่นอนที่ขึ้นกับเส้นทางสอดคล้องกับคุณสมบัติ martingale ได้ หากมีค่าคาดหมายที่จำเป็นอยู่

martingale ก็ไม่ได้หมายถึง increments ที่เป็นอิสระต่อกัน ความพึ่งพากันยังคงอยู่ได้ตราบใดที่ข้อจำกัดของค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขยังเป็นจริง

สินทรัพย์ที่เทรดได้โดยปกติมี carry เงินปันผล หรือผลกระทบจากเงินทุน ดังนั้นราคาที่ไม่คิดลดจึงไม่จำเป็นต้องเป็น martingale ภายใต้ pricing measure

หารมูลค่าผลตอบแทนรวมด้วย numeraire ที่เลือก เช่น บัญชีตลาดเงิน ภายใต้สมมติฐาน no-arbitrage ที่เหมาะสม กระบวนการที่คิดลดแล้วจะกลายเป็น martingale

การเปลี่ยน numeraire เปลี่ยน measure ที่เกี่ยวข้องและเปลี่ยนว่าราคาเปรียบเทียบใดเป็น martingale หน่วยบัญชีเป็นส่วนหนึ่งของข้อความนี้

สำหรับ payoff H ที่จำลองได้ ณ เวลา T มูลค่าที่คิดลดวันนี้เท่ากับ conditional expectation ของ payoff ที่คิดลดภายใต้ pricing measure

นี่ไม่ใช่การเฉลี่ยตามความถี่ในอดีต measure ถูกเลือกเพื่อให้ราคาสินทรัพย์ที่เทรดได้เมื่อคิดลดสอดคล้องกับ no-arbitrage

สูตรนี้ย่อข้อโต้แย้งเรื่องการจำลองแบบพลวัต ไม่ได้ลบสมมติฐานเกี่ยวกับการเทรด สถานะของแบบจำลอง เงินปันผล หรือเงินทุน

เลือกน้ำหนักราคาขาขึ้นและขาลงเพื่อให้ค่าคาดหมายของสินทรัพย์อ้างอิงเมื่อคิดลดในขั้นถัดไปเท่ากับมูลค่าปัจจุบันที่คิดลดแล้ว

ใช้น้ำหนักเดียวกันกับค่าของออปชันที่โหนดถัดไป แล้วคิดลดแบบย้อนกลับ การทำซ้ำขั้นตอนนี้ให้ราคาที่ราก

ดังนั้นความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ของต้นไม้จึงเป็นน้ำหนักแบบ martingale ไม่ใช่การอ้างว่าหุ้นจริงมีผลตอบแทนส่วนเกินคาดหมายเป็นศูนย์

submartingale มีค่าคาดหมายอนาคตแบบมีเงื่อนไขอย่างน้อยเท่ากับปัจจุบัน ส่วน supermartingale มีค่าไม่เกินปัจจุบัน

แนวคิดเหล่านี้ปรากฏเมื่อมีข้อจำกัด การบริโภค การใช้สิทธิแบบ American และการ hedge เกินความเสี่ยง ซึ่งความเท่ากันแบบพอดีอาจถูกแทนที่ด้วยขอบเขตด้านเดียว

คำนำหน้าไม่ได้พยากรณ์กำไรจากการเทรดได้ด้วยตัวเอง measure การคิดลด admissibility และ integrability ยังคงควบคุมการตีความ

เป็นเรื่องน่าดึงดูดที่จะคิดว่ากฎใด ๆ สำหรับหยุดเกมที่ยุติธรรมยังรักษาค่าคาดหมายไว้ ทฤษฎี optional stopping ต้องมี boundedness, integrability หรือเงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง

กลยุทธ์ทบเงินอาจละเมิด admissibility หรือต้องใช้เงินทุนไม่จำกัด มันไม่ได้สร้าง arbitrage ที่ใช้ได้จริงจากคำนิยาม martingale

ปัญหาการหยุดของออปชันแบบ American ใช้เวลาการใช้สิทธิและกระบวนการมูลค่าที่กำหนดไว้อย่างรอบคอบ ไม่ใช่คำสัญญาไร้ขอบเขตว่าเวลาจะไม่มีความสำคัญ

ราคาที่สังเกตได้รวมสเปรด ราคาเสนอค้าง ข้อจำกัด และการเทรดแบบไม่ต่อเนื่อง martingale ในแบบจำลองเป็นข้อความภายใต้ idealization ที่กำหนด

strict local martingale, bubble, claim ที่ไร้ขอบเขต และปัญหาการมีอยู่ของ measure แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขทางเทคนิคไม่สามารถข้ามได้เสมอ

ก่อนใช้สูตร martingale ให้ระบุกระบวนการ measure numeraire filtration integrability ของ payoff และกลยุทธ์การเทรดที่มีให้