อธิบาย Stratonovich เทียบกับ Itô Calculus
เรียนรู้ว่า stochastic integral แบบ Stratonovich และ Itô ต่างกันอย่างไร วิธีแปลงพจน์ drift และเหตุใดแบบจำลองการเงินต้องระบุข้อตกลงที่ใช้
คำตอบโดยตรง
แคลคูลัสแบบ Itô และ Stratonovich อธิบายพลวัตสุ่มเดียวกันได้เมื่อแปลงอย่างเหมาะสม แต่ประเมิน integrand ที่มี noise ณ จุดต่างกันในแต่ละช่วง การแปลงจะเพิ่มพจน์ drift จาก quadratic variation ดังนั้นสมการจะยังไม่สมบูรณ์จนกว่าจะระบุข้อตกลงของอินทิกรัล
จุดสุ่มตัวอย่างเปลี่ยนอินทิกรัล
อินทิกรัลแบบ Itô ใช้ข้อมูลที่ปลายซ้ายของแต่ละช่วงเวลา ทำให้ integrand เป็น predictable และมีคุณสมบัติ martingale ภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน
อินทิกรัลแบบ Stratonovich ใช้ลิมิตลักษณะจุดกึ่งกลาง จึงใกล้กฎลูกโซ่ปกติมากกว่าสำหรับการเปลี่ยนพิกัดที่เรียบ
ไม่มีสัญกรณ์ใดสมจริงกว่าโดยอัตโนมัติ ข้อตกลงที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับลิมิตของแบบจำลอง กระแสข้อมูล และปริมาณที่ต้องการแทน
การแปลงข้อตกลงเปลี่ยน drift
สำหรับ diffusion มิติเดียว dX = a(X)dt + b(X)∘dW ในรูป Stratonovich จะแปลงเป็น dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW ในรูป Itô
พจน์เพิ่มเติมไม่ใช่การปรับตามดุลยพินิจ แต่เกิดจาก quadratic covariation ระหว่าง integrand ที่ขึ้นกับสถานะกับ Brownian motion
เมื่อ b คงที่ b' จะเป็นศูนย์และทั้งสองรูปตรงกัน ความผันผวนที่ขึ้นกับสถานะคือจุดที่การผสมข้อตกลงโดยไม่ระบุมีต้นทุนสูง
ตัวอย่าง noise แบบคูณทำให้ความแตกต่างชัดเจน
ให้ b(X) = σX และ drift แบบ Stratonovich เป็นศูนย์ drift แบบ Itô ที่เทียบเท่าคือ 1/2σ²X
การใช้ σ = 40% ทำให้การปรับแก้นี้เท่ากับ 8% ของ X ต่อปีก่อนรวม drift ทางเศรษฐกิจที่ระบุแยกต่างหาก
ตัวเลขนี้เป็นการเปลี่ยนรูปแบบการแทน ไม่ใช่ผลตอบแทนหุ้นคาดหมายหรือ alpha ที่ซื้อขายได้ แบบจำลองการเงินยังต้องระบุมาตรวัด carry เงินปันผล และข้อจำกัด [!TRYMARK] เก็บข้อตกลงไว้กับสถานการณ์ ในวันที่ตรวจสอบหรือจุดตรวจผลประกอบการ ให้บันทึกอินพุตหุ้น สมมติฐาน IV ผลลัพธ์เป้าหมาย และดูว่าแบบจำลองใช้พลวัต Itô หรือ Stratonovich drift ที่คัดลอกมาโดยไม่มีข้อตกลงอาจเปลี่ยนผล Path ก่อนตลาดเคลื่อน
แบบจำลองกำหนดราคามักระบุพลวัตแบบ Itô
แบบจำลองกำหนดราคาสินทรัพย์แบบเวลาต่อเนื่องมักใช้กระบวนการ Itô เพราะกลยุทธ์ซื้อขายที่เลี้ยงตัวเองได้ปรับตามข้อมูลที่มีอยู่ก่อนแรงกระแทกถัดไป
Itô's lemma martingale measures และการอนุมานมาตรฐานของ Black–Scholes เขียนอยู่ในข้อตกลงนี้
แบบจำลองทางกายภาพที่ได้จากลิมิตของ noise สีอาจสร้างสมการแบบ Stratonovich ได้เป็นธรรมชาติ ต้องแปลงก่อนนำไปรวมกับการคำนวณกำหนดราคาหรือ hedge แบบ Itô
การแปลงไม่ได้แก้ model risk
สมการอาจแปลงถูกต้องแต่ยังตกหล่น jump stochastic volatility สภาพคล่อง การ hedge แบบไม่ต่อเนื่อง หรือพารามิเตอร์ที่ระบุผิด
ระบบหลายมิติต้องใช้ Jacobian และโครงสร้าง covariance เต็มรูปแบบ ไม่ใช่ทางลัดสเกลาร์ half-times-b-times-b-prime
ระบุ SDE ข้อตกลงของอินทิกรัล มาตรวัดความน่าจะเป็น หน่วยเวลา และการตีความของ noise เสมอก่อนเปรียบเทียบผลลัพธ์
คำถามที่พบบ่อย
Stratonovich calculus ถูกต้องกว่า Itô calculus หรือไม่?
ไม่ ทั้งสองเป็นคำอธิบายที่เทียบเท่ากันเมื่อแปลงอย่างถูกต้อง รูปที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับที่มาของแบบจำลองสุ่มและวิธีนำไปใช้
ทำไม drift จึงเปลี่ยนระหว่างการแปลง?
เมื่อ integrand ขึ้นอยู่กับสถานะ มันอาจเคลื่อนไหวร่วมกับ Brownian motion และ quadratic covariation จะคงเหลือเป็น drift correction ที่มีค่าจำกัด
ใช้กฎลูกโซ่ปกติกับกระบวนการ Itô ได้หรือไม่?
ใช้โดยตรงไม่ได้ Itô's lemma เพิ่มพจน์อันดับสองจาก quadratic variation สัญกรณ์ Stratonovich คืนกฎหน้าตาเหมือนปกติได้เมื่อใช้ข้อตกลงของมันเอง