อธิบาย Quadratic Variation ในการเงิน
เรียนรู้ว่าเหตุใดกำลังสองของส่วนเปลี่ยนแปลงบนเส้นทางจึงยังคงอยู่เมื่อใช้สเกลละเอียด ทำให้เกิด Itô correction และเชื่อมโยงความผันผวนของ diffusion กับ realized variance
คำตอบโดยตรง
Quadratic variation คือขีดจำกัดของกำลังสองของส่วนเปลี่ยนแปลงบนเส้นทางเมื่อแบ่งช่วงเวลาให้ละเอียดขึ้น มันหายไปสำหรับเส้นทางต่อเนื่องที่มี finite variation เท่ากับเวลาที่ผ่านไปสำหรับ Brownian motion มาตรฐาน และก่อให้เกิด correction ในแคลคูลัสของ Itô
ยกกำลังสองของส่วนเปลี่ยนแปลงก่อนทำให้เวลาละเอียดขึ้น
สำหรับ partition π ของ [0,t] ให้สร้าง Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² และทำให้ mesh เข้าใกล้ศูนย์
เมื่อผลรวมเหล่านี้ลู่เข้าในความหมายเชิงความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง ขีดจำกัดของมันคือ quadratic variation [X]_t
นี่เป็นแนวคิดของการสะสมตามเส้นทาง ไม่ใช่สิ่งเดียวกับความแปรปรวนทางสถิติของ X_t จากผลลัพธ์ที่ทำซ้ำกัน
เส้นทางเรียบและ finite variation หายไป
เส้นทางต่อเนื่องที่มี total variation จำกัดมี quadratic variation เป็นศูนย์ เพราะกำลังสองของส่วนเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ หายไปเร็วกว่าผลรวมค่าสัมบูรณ์
นั่นคือเหตุผลที่เส้นโค้งราคาที่หาอนุพันธ์ได้ตามปกติไม่สร้าง correction ลำดับสองใน chain rule แบบคลาสสิก
Quadratic variation แยกความหยาบที่ยังมองเห็นได้หลังการเคลื่อนไหวลำดับแรกแต่ละส่วนเล็กลงจนแทบเป็นศูนย์
ความหยาบของ Brownian ยังคงอยู่ทุกสเกล
Brownian motion มาตรฐานมี total variation เป็นอนันต์ในทุกช่วงที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่มี [W]_t = t
ตามสัญชาตญาณ ส่วนเปลี่ยนแปลงประมาณ 1/Δt แต่ละส่วนมีขนาดกำลังสองใกล้ Δt ดังนั้นผลรวมจึงยังมีอันดับเป็นหนึ่ง
ความสัมพันธ์นี้เป็นข้อความเกี่ยวกับขีดจำกัด ไม่ใช่ข้ออ้างพีชคณิตแบบจุดต่อจุดว่า dW/dt มีอยู่ หรือทุกกำลังสองของส่วนเปลี่ยนแปลงเท่ากับ dt
Covariation บันทึกการเคลื่อนไหวหยาบร่วมกัน
Quadratic covariation [X,Y] รวมผลคูณ ΔX·ΔY บน partition ที่ละเอียด
Polarization ให้ [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]) ซึ่งเชื่อมโยงความแปรผันร่วมกับ quadratic variation รายตัว
สำหรับตัวขับ Brownian ที่สัมพันธ์กัน covariation จะนำ dependence แบบฉับพลันเข้าสู่สูตร Itô ของพอร์ตและหลายตัวแปร
สูตรของ Itô เก็บพจน์ลำดับสองไว้
สำหรับ dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, quadratic variation ต่อเนื่องคือ [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
Taylor expansion เก็บ 1/2 f''(X_t)d[X]_t ไว้ เพราะกำลังสองของส่วนเปลี่ยนแปลงสุ่มสะสมแทนที่จะหายไป
Correction นี้ขับเคลื่อนสมการกำหนดราคาของ diffusion และแยก stochastic calculus ออกจาก differential calculus ธรรมดา
Jumps เพิ่มขนาดกำลังสองของตัวเอง
สำหรับ semimartingale ที่มี jumps, quadratic variation รวม variation ของ continuous martingale บวก Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
ดังนั้น jump ขนาดใหญ่อาจครอบงำการเคลื่อนไหว quadratic ที่รับรู้ในหนึ่งวัน แม้ความผันผวนต่อเนื่องจะปานกลาง
แยก continuous variation, jumps และ finite-variation drift เมื่อคำถามทางเศรษฐกิจขึ้นกับแหล่งที่มาต่างกัน
Realized variance เป็นตัวประมาณ ไม่ใช่ขีดจำกัดเอง
Realized variance ความถี่สูงรวมผลตอบแทนระหว่างวันที่สังเกตได้แล้วยกกำลังสองเพื่อประมาณ quadratic variation ที่แฝงอยู่
การสุ่มตัวอย่างห่างเกินไปจะพลาดการเคลื่อนไหว ขณะที่การสุ่มตัวอย่างถี่เกินไปจะขยาย bid–ask bounce, price discreteness, ราคาเสนอที่ไม่พร้อมกัน และ tick ที่เสีย
เปรียบเทียบ grid การสุ่มตัวอย่าง ทำความสะอาด jumps อย่างชัดเจน จัดชั่วโมงซื้อขายให้ตรงกัน และแยกคำจำกัดความของผลตอบแทนก่อนตีความค่าประมาณว่าเป็น volatility
คำถามที่พบบ่อย
Quadratic variation ในภาษาง่าย ๆ คืออะไร?
คือการเคลื่อนไหวที่ยังเหลืออยู่หลังยกกำลังสองและบวกการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ จำนวนมากบนกริดเวลาที่ละเอียดขึ้นเรื่อย ๆ
ทำไม Brownian motion จึงมี quadratic variation เป็น t?
ส่วนเปลี่ยนแปลงในช่วง Δt มีสเกลกำลังสองเป็น Δt และมีส่วนเปลี่ยนแปลงประมาณ t/Δt ส่วน จึงสะสมเป็น t ในขีดจำกัด
Quadratic variation เหมือน volatility หรือไม่?
ไม่ใช่ ใน diffusion มันเท่ากับ integrated variance ส่วน volatility โดยทั่วไปคืออัตราทันทีหรือรากที่สองที่ทำให้เป็นมาตรฐาน
Jumps ส่งผลต่อ quadratic variation อย่างไร?
แต่ละ jump เพิ่มขนาดกำลังสองของตัวเอง ดังนั้น quadratic variation จึงมีทั้ง variation ของ continuous martingale และ variation จาก jump แบบไม่ต่อเนื่อง