เลมมาของอิเทโอในการตั้งราคาออปชันอธิบาย
เรียนรู้ว่าเหตุใดฟังก์ชันสุ่มจึงต้องมีพจน์อันดับสองเพิ่มเติม เลมมาของอิเทโอขยายมูลค่าออปชันอย่างไร และการ hedge ด้วย delta นำไปสู่สมการราคาได้อย่างไร
คำตอบโดยตรง
เลมมาของอิเทโอคือกฎลูกโซ่สำหรับกระบวนการสุ่ม การเพิ่มของบราวเนียนมีอันดับ √dt ดังนั้นกำลังสองของมันจึงมีส่วนที่อันดับ dt พจน์อนุพันธ์อันดับสองที่ยังเหลืออยู่เชื่อม gamma ของออปชัน ความผันผวน และวิวัฒนาการตามเวลา
กฎลูกโซ่ธรรมดาพลาดความผันแปรจากการสุ่ม
สำหรับเส้นทางกำหนดที่เรียบ x(t) การเปลี่ยนแปลงของ f(t, x) อธิบายในท้องถิ่นได้ด้วยอนุพันธ์ตามเวลาและอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ x
เส้นทาง diffusion ต่อเนื่องแต่ไม่มีอนุพันธ์ที่เรียบในความหมายปกติ การเพิ่มแบบสุ่มในช่วงเวลาสั้น ๆ มีสเกลเท่ากับรากที่สองของเวลา
สเกลดังกล่าวทำให้พจน์ Taylor อันดับสองมีขนาดเท่ากับพจน์เวลาปกติ การตัดมันทิ้งจะลบผลที่ภายหลังปรากฏเป็น gamma ในการตั้งราคาออปชัน
ความแปรผันกำลังสองเก็บพจน์อันดับสองไว้
เขียนการเพิ่มของบราวเนียนเป็น dW ในการทำบัญชีแบบอิเทโอ dW² มีส่วนเป็น dt ขณะที่ dt² และ dt·dW หายไปในอันดับที่เกี่ยวข้อง
นี่เป็นชวเลขสำหรับลิมิตตามเส้นทาง: ผลรวมของการเพิ่มบราวเนียนที่ยกกำลังสองจะลู่เข้าสู่เวลาที่ผ่านไปเมื่อพาร์ทิชันละเอียดขึ้น
ไม่ใช่พีชคณิตธรรมดาที่บอกว่าแรงกระแทกสุ่มทุกตัวเมื่อยกกำลังสองเท่ากับเวลา กฎนี้เป็นของการอินทิเกรตสุ่มและธรรมเนียมลิมิตของมัน
เลมมาขยายฟังก์ชันของ diffusion
สมมติว่า dS = μSdt + σSdW และมูลค่าออปชันคือ V(t, S) เลมมาของอิเทโอให้การเปลี่ยนแปลงสุ่มในท้องถิ่นของมัน
drift คือ Vₜ + μS Vₛ + one-half σ²S²Vₛₛ ส่วนสุ่มคือ σS VₛdW โดยตัวห้อยหมายถึงอนุพันธ์ย่อย
Delta Vₛ คูณแรงกระแทกอันดับหนึ่ง ขณะที่ gamma Vₛₛ เข้ามาใน drift อันดับเวลา ผ่านความแปรผันกำลังสอง
Gamma เปลี่ยนความผันผวนให้เป็นการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในท้องถิ่น
แม้แรงกระแทกราคาสุ่มจะมีค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขเป็นศูนย์ ความนูนทำให้การเคลื่อนไหวบวกและลบส่งผลต่อมูลค่าออปชันไม่สมมาตร
พจน์ one-half σ²S²Gamma วัดส่วนของความโค้งในท้องถิ่นนี้ ความผันผวนที่สูงขึ้นเพิ่มอัตราที่ payoff โค้งสะสมมูลค่าตามแบบจำลอง
ไม่ได้หมายความว่า long gamma จะทำกำไรได้อย่างแน่นอน Theta premium ที่จ่าย เส้นทางจริง jump การเปลี่ยนแปลงของ skew และต้นทุนเป็นตัวกำหนด P&L จริง
การ hedge ด้วย delta ลบพจน์สุ่มตามแบบจำลอง
รวมออปชันหนึ่งตัวกับสินทรัพย์อ้างอิงในสัดส่วนลบ delta ของมัน ภายใต้สมมติฐาน diffusion พจน์ dW จะหักล้างกันทันที
พอร์ตที่เหลือในท้องถิ่นถือว่าปราศจากความเสี่ยงตามแบบจำลอง ดังนั้น no-arbitrage กำหนดให้มันได้ผลตอบแทนในอัตราปลอดความเสี่ยง หลังจัดการเงินปันผลหรือ carry อย่างสอดคล้องกัน
แทนเงื่อนไขนี้แล้ว μ จะหายไปและได้สมการ partial differential ของ Black–Scholes การทำซ้ำ payoff ไม่ใช่การพยากรณ์ผลตอบแทน เป็นตัวกำหนดความสัมพันธ์ของราคา
สูตรนี้ยังชี้ทางให้แบบจำลองที่กว้างขึ้น
เมื่อมี diffusion ที่สัมพันธ์กันหลายตัว การขยายจะรวมอนุพันธ์อันดับสองไขว้ที่ถ่วงด้วย covariance พจน์เหล่านี้เชื่อมสหสัมพันธ์กับความโค้งร่วม
การเปลี่ยนกระบวนการของ state จะเปลี่ยน generator และสมการราคา แบบจำลอง local volatility stochastic volatility และอัตราดอกเบี้ยล้วนใช้อินทิกรัลอิเทโอที่เกี่ยวข้องกัน
สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เรียบพอ ขอบเขตและจุดหักต้องได้รับการจัดการแบบ weak generalized หรือเชิงตัวเลข แทนการหาอนุพันธ์แบบลวก ๆ
Jump และการ hedge จริงต้องมีพจน์เพิ่มเติม
กระบวนการ jump ไม่เข้ากับกฎบราวเนียนต่อเนื่องเพียงอย่างเดียว สูตรการเปลี่ยนแปลงของมันรวมส่วน jump ที่ไม่ต่อเนื่อง และมักนำไปสู่สมการ integro-differential
การ hedge จริงเกิดขึ้นเป็นช่วง ๆ และมีต้นทุน ดังนั้นการยกเลิกพจน์ dW แบบอนันต์ไม่ได้ลบความเสี่ยงจาก gap สภาพคล่อง พารามิเตอร์ หรือการดำเนินการ
ใช้เลมมาของอิเทโอเพื่อเข้าใจกลไกของแบบจำลอง แล้วระบุกระบวนการ ความเรียบ measure และสมมติฐานการเทรดก่อนตีความราคา หรือ Greek
คำถามที่พบบ่อย
ทำไมเลมมาของอิเทโอจึงมีพจน์เพิ่มเติม
การเพิ่มของบราวเนียนมีสเกล √dt ดังนั้นกำลังสองจึงมีอันดับ dt และพจน์ Taylor อันดับสองไม่หายไป
dW² = dt หมายความว่าอย่างไร
มันสรุปความแปรผันกำลังสองในลิมิตสุ่ม ไม่ใช่ความเท่าเทียมแบบจุดต่อจุดระหว่างจำนวนสุ่มกับเวลา
เลมมาของอิเทโอนำไปสู่ Black–Scholes ได้อย่างไร
มันขยายการเปลี่ยนแปลงในท้องถิ่นของออปชัน จากนั้น hedge ด้วย delta จะยกเลิกแรงกระแทก diffusion และ no-arbitrage กำหนดผลตอบแทนที่เหลือ
เลมมาของอิเทโอใช้กับการกระโดดของราคาได้หรือไม่
รูปแบบต่อเนื่องไม่เพียงพอ แบบจำลอง jump ต้องใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงที่ขยายแล้วพร้อมพจน์ไม่ต่อเนื่องอย่างชัดเจน