อธิบาย Girsanov Theorem ในการกำหนดราคา Options
เรียนรู้ว่า Girsanov's theorem เปลี่ยน Brownian drift ระหว่าง probability measures อย่างไร เหตุใด volatility จึงคงเดิม และ risk-neutral dynamics เกิดขึ้นอย่างไร
คำตอบโดยตรง
Girsanov's theorem แสดงว่า absolutely continuous measure change เลื่อน drift ของ Brownian process ได้โดยยังคง diffusion ไว้ ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุ มันเปลี่ยน physical dynamics ให้เป็น pricing dynamics
Physical dynamics มี drift ของ expected return อยู่
ภายใต้ physical measure P, stock อาจทำตาม dS/S = μdt + σdWᴾ โดย μ แทน expected return ที่ model ไว้
Drift นี้เกี่ยวข้องกับการ forecast และการเลือก portfolio แต่ option value ที่ไม่มี arbitrage ไม่ควรขึ้นกับค่าประมาณ μ แบบ arbitrary ใน complete diffusion model
การย้ายจาก physical probabilities ไปสู่ pricing probabilities ต้องการมากกว่าการเปลี่ยน symbol หนึ่งเป็นอีก symbol หนึ่ง ต้องมี valid measure transformation
Density process ให้น้ำหนักกับทั้งเส้นทางใหม่
Radon–Nikodym derivative กำหนดว่า measure ใหม่ให้น้ำหนัก events เมื่อเทียบกับ measure เดิมอย่างไรจนถึงแต่ละเวลา
สำหรับ Brownian models density นี้มักเขียนเป็น stochastic exponential ที่สร้างจาก process ซึ่งมักแทนด้วย λ
Density ต้องเป็นบวกและมี expectation เท่ากับหนึ่ง มิฉะนั้น expression ที่เสนอมานี้อาจไม่สามารถกำหนด equivalent probability measure ได้
Brownian motion ได้ drift ชดเชย
เมื่อ density ใช้ได้ Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt จะกลายเป็น Brownian motion ภายใต้ measure ใหม่ Q โดยใช้ sign convention แบบหนึ่งที่ใช้ร่วมกัน
แทน dWᴾ = dWᵠ − λdt จะเลื่อน drift ของทุก process ที่รับ Brownian shock นั้น
Volatility coefficient ที่คูณกับ dW ไม่ได้หายไป Equivalent diffusion-measure changes เปลี่ยน drift ไม่ใช่ instantaneous covariance structure
Risk-neutral drift ตาม financing และ carry
สำหรับ stock ที่ไม่มี dividend ให้เลือก λ เพื่อให้ Q drift กลายเป็น short rate r หากมี dividend yield q, ex-dividend drift โดยทั่วไปคือ r − q
จากนั้น discounted total-return asset จะเป็น Q martingale และ replicable payoff สามารถกำหนดราคาด้วย discounted Q expectation
ผลลัพธ์นี้ไม่ได้บอกว่า stock จะได้ผลตอบแทน r ในโลกจริง แต่บอกว่า drift ของมันปรากฏอย่างไรภายใต้ pricing measure ที่เลือก
Lambda แทน price ของ Brownian risk
ในกรณี constant-coefficient แบบง่าย λ = (μ − r) / σ ภายใต้ sign convention ที่ระบุและไม่มี dividends
เมื่อมีแหล่งความเสี่ยงหลายแห่ง vector ของ risk prices จะเลื่อน drift ผ่าน volatility-loading matrix ไม่ใช่ drift ที่ต้องการทุกแบบจะเข้าถึงได้ หาก exposures มี rank ไม่พอ
ใน incomplete markets ส่วนประกอบของ risk price อาจยังถูกกำหนดโดย traded assets ไม่ได้ ทำให้มี martingale measure ที่ยอมรับได้มากกว่าหนึ่งแบบ
Theorem ต้องการ integrability conditions
Novikov, Kazamaki หรือ conditions ที่เกี่ยวข้องมักใช้เพื่อให้ stochastic exponential เป็น true martingale ไม่ใช่เพียง local martingale
Equivalence ยังรักษาเหตุการณ์ที่มี probability เป็นศูนย์ไว้ด้วย Transformation ไม่สามารถทำให้ path ที่เป็นไปไม่ได้จริงกลายเป็น path ที่เป็นไปได้ ขณะยังคง equivalent ได้
Explosive coefficients, strict local martingales, infinite horizons หรือ weak regularity อาจทำให้การใช้ formula แบบลวก ๆ ใช้ไม่ได้
Jumps และ implementation ต้องใช้การเปลี่ยนแปลงที่กว้างขึ้น
สำหรับ jump processes การเปลี่ยน measure อาจเปลี่ยน jump intensity และ jump-size distribution รวมถึง continuous drift
Calibrated pricing models ระบุ risk-neutral parameters โดยตรง แต่การเชื่อมกับ physical estimates ยังต้องมี risk-premium model
ระบุ original measure, target measure, density, sign convention, numeraire, horizon และ conditions ก่อนตีความ dynamics ที่แปลงแล้ว
คำถามที่พบบ่อย
Girsanov's theorem ทำอะไรใน finance
มันให้เงื่อนไขสำหรับเปลี่ยน probability measure เพื่อให้ Brownian drift เปลี่ยน และ discounted tradable prices กลายเป็น martingales ได้
Girsanov's theorem เปลี่ยน volatility หรือไม่
สำหรับ equivalent Brownian diffusion change มันเลื่อน drift แต่คง instantaneous diffusion coefficient และ covariance ไว้
Market price of risk คืออะไร
คือ process ที่ใช้ใน density เพื่อแปลง risk exposure ให้เป็น drift adjustment ระหว่าง physical และ pricing measures
Girsanov's theorem ใช้กับ jumps ได้หรือไม่
ได้ ผ่านผลลัพธ์ semimartingale ที่กว้างกว่า แต่ jump intensity และ jump-size law ก็อาจเปลี่ยน และต้องระบุให้ชัด