อธิบายโลคัลมาร์ติงเกลและสตริกต์โลคัลมาร์ติงเกล

กระบวนการ M ที่ปรับตามข้อมูลเป็นโลคัลมาร์ติงเกล หากเวลาหยุด τ_n เพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้อนันต์เกือบแน่นอน และกระบวนการที่หยุดแล้วแต่ละตัว M_{t∧τ_n} เป็นมาร์ติงเกล

การหยุดสามารถจำกัดการเคลื่อนออกนอกกรอบหรืออินทิกรัล เพื่อให้ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขมีพฤติกรรมดีในทุกบริเวณที่ทำให้เป็นโลคัล

การทำให้เป็นโลคัลเป็นเครื่องมือพิสูจน์เกี่ยวกับบริเวณปลอดภัยที่ขยายออก ไม่ได้หมายความว่ากระบวนการเป็นมาร์ติงเกลโดยประมาณเฉพาะในช่วงเวลาปฏิทินสั้น ๆ

มาร์ติงเกลแท้ทุกตัวเป็นโลคัล เพราะอาจใช้เวลาหยุดแบบไม่ทำอะไรหรือแบบมีขอบเขตตามนิยามที่เกี่ยวข้อง

บทกลับต้องอาศัยเงื่อนไขอย่าง uniform integrability หรือการครอบงำที่เหมาะสม ซึ่งทำให้ส่งลิมิตผ่านค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขได้

หากขาดการควบคุมนี้ มวลอาจหนีไปตามเส้นทางสุดขั้วที่เกิดได้ยากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อแนวกั้นที่ใช้ทำให้เป็นโลคัลถอยออก

โลคัลมาร์ติงเกลที่ไม่เป็นลบเป็นซูเปอร์มาร์ติงเกลจากอาร์กิวเมนต์แบบ Fatou ดังนั้น E[M_t] ≤ E[M_s] สำหรับ s ≤ t

มันเป็นมาร์ติงเกลแท้เมื่อค่าคาดหมายได้รับการรักษาภายใต้การอินทิเกรตที่เหมาะสม ส่วนสตริกต์โลคัลมาร์ติงเกลมีส่วนขาดของค่าคาดหมายอย่างแท้จริง

ดังนั้นการไม่มีดริฟต์เฉพาะที่จึงไม่ได้แปลว่าค่าคาดหมายแบบไม่มีเงื่อนไขคงที่ด้วยตัวมันเอง

เอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงสุ่มเป็นโลคัลมาร์ติงเกลที่เป็นบวก และเป็นตัวเลือกตามธรรมชาติสำหรับกระบวนการความหนาแน่นในการเปลี่ยนมาตรวัด

เงื่อนไขอย่าง Novikov หรือ Kazamaki สามารถยืนยันคุณสมบัติมาร์ติงเกลแท้ได้ แต่เป็นการทดสอบที่เพียงพอ ไม่ใช่นิยามที่ใช้แทนกันได้

หากความหนาแน่นที่เสนอเป็นสตริกต์ ค่าคาดหมายปลายทางจะต่ำกว่าหนึ่ง และไม่สามารถกำหนดมาตรวัดความน่าจะเป็นสมมูลที่ต้องการได้หากไม่มีการจัดการเพิ่มเติม

ภายใต้นิยามบางแบบของการกำหนดราคาสินทรัพย์ สตริกต์โลคัลมาร์ติงเกลที่ไม่เป็นลบและคิดลดแล้วมีราคาตลาดสูงกว่าค่าคาดหมายพื้นฐานที่ต่ำกว่า

ค่าคาดหมายที่หายไป ซึ่งมักเรียกว่าความบกพร่องของมาร์ติงเกล ใช้วัดช่องว่างที่ขึ้นกับแบบจำลองนี้

นี่เป็นข้อความภายในมาตรวัด ฟิลเทรชัน ชั้นของการยอมรับความเสี่ยง และกฎการกำหนดราคาที่ระบุ ไม่ใช่หลักฐานโดยอัตโนมัติว่าสินทรัพย์ที่ซื้อขายอยู่ถูกตั้งราคาผิดในเชิงประจักษ์

พาริตี put–call มาตรฐานและความไม่เพิ่มขึ้นตามอายุของราคาคอลมักใช้คุณสมบัติมาร์ติงเกลแท้ของสินทรัพย์อ้างอิงที่คิดลดแล้ว

เมื่อเป็นสตริกต์โลคัลมาร์ติงเกล พาริตีอาจมีพจน์ความบกพร่อง และมูลค่าคอลที่ดูเป็นธรรมชาติอาจขึ้นอยู่กับข้อตกลงด้านหลักประกันหรือการยอมรับความเสี่ยง

ควรอนุมานเอกลักษณ์จากค่าคาดหมายและสมมติฐานด้านการซื้อขายของแบบจำลองเสมอ แทนการนำสูตรที่ไม่มีอาร์บิทราจมาใช้โดยไม่แก้ไข

ตรวจสอบการรักษาค่าคาดหมายในเชิงวิเคราะห์หรือเชิงตัวเลข พฤติกรรมขอบเขต การระเบิด uniform integrability และความถูกต้องของกระบวนการความหนาแน่นใด ๆ

มอนติคาร์โลอาจพลาดเส้นทางหายากที่เป็นสาเหตุของการสูญเสียค่าคาดหมาย ดังนั้นค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่เสถียรจึงเป็นหลักฐานที่อ่อนแอของคุณสมบัติมาร์ติงเกล

ใช้เงื่อนไขขอบเขตของ PDE พฤติกรรมเชิงเส้นกำกับ เกณฑ์ความเป็นสตริกต์ การศึกษาการตัดทอน และการประมาณความบกพร่องของมาร์ติงเกลร่วมกับการจำลอง