อธิบายทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาสินทรัพย์
เรียนรู้ว่า no arbitrage, equivalent martingale measures และความครบถ้วนของตลาดเชื่อมโยงกันอย่างไรในทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาสินทรัพย์
คำตอบโดยตรง
ทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาสินทรัพย์เชื่อม no arbitrage เข้ากับ probability measure ที่สมมูล ซึ่งภายใต้มาตราส่วนลดที่เหมาะสม ราคาสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้จะเป็น martingale การมี measure ดังกล่าวเพียงหนึ่งเดียวก็ใช้บ่งชี้ว่าตลาดครบถ้วน
Arbitrage แข็งแรงกว่าการเทรดที่ดูดี
Arbitrage เริ่มต้นโดยไม่มีเงินลงทุนสุทธิ ไม่สามารถขาดทุนภายใต้โมเดล และมี payoff เป็นบวกในอย่างน้อยหนึ่ง state ที่เกี่ยวข้อง
Sharpe ratio สูง statistical edge หรือออปชันที่ดูราคาถูกไม่ได้เป็น arbitrage โดยอัตโนมัติ เพราะยังมีความเป็นไปได้ที่จะขาดทุน
ทฤษฎีบทเริ่มจากเงื่อนไขระดับโมเดลที่ชัดเจนนี้ การเปลี่ยนกลยุทธ์ที่อนุญาต กฎการจัดหาเงินทุน หรือข้อจำกัด อาจเปลี่ยนว่า arbitrage มีอยู่หรือไม่
State prices เปลี่ยน payoff เป็นมูลค่าปัจจุบัน
ในตลาดหนึ่งช่วงเวลาที่มีจำนวน state จำกัด ให้กำหนดน้ำหนักมูลค่าปัจจุบันที่ไม่เป็นลบแก่แต่ละ state ในอนาคต payoff ใด ๆ ที่ replicate ได้จะมีราคาจากผลรวมของ payoff คูณด้วยน้ำหนักของ state
หากน้ำหนักที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดสอดคล้องกับราคาที่ซื้อขายทั้งหมด พอร์ตที่มีต้นทุนเป็นศูนย์จะไม่สามารถให้ payoff ที่ไม่เป็นลบพร้อมกำไรในบาง state ได้
การทำให้น้ำหนักเหล่านั้นเป็นมาตรฐานด้วยบัญชีตลาดเงินจะให้ความน่าจะเป็น ขั้นตอนนี้เปลี่ยน pricing functional ให้เป็น martingale measure
ความสมมูลรักษาเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
measure ที่สมมูลให้ probability เป็นศูนย์แก่เหตุการณ์ชุดเดียวกับ physical measure ทุกประการ มันเปลี่ยนน้ำหนักสัมพัทธ์โดยไม่สร้างหรือลบ state ที่เป็นไปได้
ความแตกต่างนี้สำคัญ เพราะ payoff ที่เป็นบวกเฉพาะใน state ซึ่งถูกประกาศว่าเป็นไปไม่ได้ ไม่สามารถรองรับข้อโต้แย้งเรื่อง arbitrage แบบเดียวกัน
น้ำหนักใหม่เป็นเครื่องมือประเมินมูลค่า ไม่ใช่ข้ออ้างว่านักลงทุนเชื่อความน่าจะเป็นที่ถูกจัดสรรใหม่ตามนั้นจริง ๆ
No arbitrage สอดคล้องกับ martingale measure
ในโมเดลมาตรฐานที่มีจำนวน state จำกัด การไม่มี arbitrage สมมูลกับการมี measure ที่สมมูลซึ่งทำให้ราคาสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้หลัง discount เป็น martingale
ในตลาด continuous-time ทั่วไป เงื่อนไข no-free-lunch ที่แม่นยำและสมมติฐานทางเทคนิคมีความสำคัญ เวอร์ชันแบบย่อของทฤษฎีบทอาจอ่อนเกินไป
สาระทางเศรษฐศาสตร์ยังคงอยู่: ราคาที่สอดคล้องกันสามารถแทนเป็นค่าที่ discount แบบมีเงื่อนไขภายใต้ pricing measure ที่เหมาะสม
ความครบถ้วนเกี่ยวกับการ replicate ทุก claim
ตลาดครบถ้วนเมื่อ contingent payoff ที่อนุญาตทุกชนิดสามารถสร้างได้จากการซื้อขายสินทรัพย์ที่มีอยู่ภายใต้โมเดล
ในกรณีมาตรฐาน ความครบถ้วนสอดคล้องกับความมีเอกลักษณ์ของ equivalent martingale measure ดังนั้น measure เดียวจึงให้ no-arbitrage value เดียวแก่แต่ละ claim
หากมีหลาย measure ที่สอดคล้องกับสินทรัพย์ที่ซื้อขาย claim ที่ replicate ไม่ได้อาจมีช่วงราคาที่ไม่มี arbitrage เว้นแต่จะเพิ่ม preference, calibration หรือเกณฑ์อื่น
โมเดล binomial และ Black–Scholes แสดงให้เห็นทั้งสองส่วน
โมเดล binomial ที่มีหุ้นหนึ่งตัวและพันธบัตรหนึ่งตัวมีสอง state ในอนาคต และโดยทั่วไป replicate payoff ของสอง state ได้ทุกแบบ ดังนั้น risk-neutral probability จึงมีเอกลักษณ์
diffusion แบบ Black–Scholes ในอุดมคติใช้การซื้อขายต่อเนื่องเพื่อ span แหล่งความเสี่ยง Brownian เพียงหนึ่งแหล่ง และให้ราคาแบบ replication ที่คุ้นเคย
เมื่อเพิ่ม volatility ที่ไม่ได้ซื้อขาย jumps transaction costs หรือข้อจำกัดในการซื้อขาย ความครบถ้วนแบบสมบูรณ์อาจหายไป แม้ราคาจากโมเดลที่มีประโยชน์ยังคงมีอยู่
ทฤษฎีบทไม่ได้เลือกการแจกแจงในโลกจริง
No arbitrage จำกัดราคาสัมพัทธ์ แต่ไม่ได้ระบุ expected returns ความถี่ของเหตุการณ์ หรือโมเดลที่ calibrate แล้วใดเหมาะสมที่สุดในเชิงเศรษฐศาสตร์
สองโมเดลอาจสอดคล้องกับราคาปัจจุบัน แต่ให้ dynamics ที่แตกต่างกันนอก strike และ maturity ที่สังเกตได้ หรือภายใต้กฎ recalibration ในอนาคตที่ต่างกัน
ใช้ทฤษฎีบทเพื่อแยก consistency ออกจาก forecasting pricing measure ที่ถูกต้องสามารถ reprice เครื่องมือได้โดยไม่ใช่ forecast ทางกายภาพที่น่าเชื่อถือ
การใช้งานจริงต้องประกาศ market model
ระบุสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้ numeraire ข้อมูล กลยุทธ์ที่อนุญาต funding collateral ต้นทุน และความเสี่ยงใดที่ hedge ได้จริง
ทดสอบว่าราคาที่เสนอละเมิด static bounds หรือไม่ และ replication ที่อ้างยังคงอยู่หรือไม่ภายใต้การซื้อขายแบบไม่ต่อเนื่อง สภาพคล่อง และความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์
ทฤษฎีบทเป็นรากฐานสำหรับการออกแบบโมเดล ไม่ใช่หลักฐานว่า desk จะ execute hedge ในอุดมคติได้ หรือทุก quote ที่สังเกตได้จะปลอด arbitrage
คำถามที่พบบ่อย
ทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาสินทรัพย์กล่าวว่าอย่างไร
ในรูปแบบมาตรฐาน no arbitrage สอดคล้องกับ equivalent martingale measure ขณะที่ความครบถ้วนของตลาดสอดคล้องกับความมีเอกลักษณ์ของ measure นั้น
Equivalent martingale measure คืออะไร
มันรักษาเหตุการณ์ที่มี probability เป็นศูนย์ไว้ และทำให้ราคาสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้หลัง discount เป็น martingale ภายใต้ numeraire ที่เลือก
No arbitrage แปลว่าราคาออปชันมีเพียงหนึ่งเดียวหรือไม่
เฉพาะเมื่อ claim นั้น replicate ได้ หรือตลาดครบถ้วน หากตลาดไม่ครบถ้วน ราคาที่สอดคล้องกันหลายราคายังอาจเป็นไปได้
Risk-neutral measure เป็น forecast ของโลกจริงหรือไม่
ไม่ มันเป็น representation สำหรับการกำหนดราคาที่รวมวิธีให้คุณค่าแก่ state ไม่ใช่การประมาณความถี่ที่เกิดขึ้นจริงโดยตรง