อธิบายการกำหนดราคาออปชันด้วย Carr–Madan Fourier

Carr–Madan เริ่มจาก risk-neutral characteristic function ของราคา log ณ วันสิ้นสุด และฟังก์ชันราคาคอลแบบยุโรปตลอดช่วงของ log strike

วิธีนี้จัดรูป expectation ที่คิดลดแล้วแบบเดิมใหม่ใน Fourier space ซึ่งการคำนวณลักษณะคล้าย convolution จะกลายเป็นผลคูณและอินทิกรัลปกติ

วิธีนี้ไม่ได้เลือก volatility, jump หรือ risk premium สิ่งเหล่านั้นเข้ามาผ่าน characteristic function ที่ขึ้นกับ model

เมื่อ log strike k เข้าใกล้ลบอนันต์ คอลจะเข้าใกล้บริเวณ intrinsic value ที่มีลักษณะคล้าย forward และไม่สามารถอินทิเกรตบนค่า k ทั้งหมดได้

การคูณ C(k) ด้วย e^{αk} สำหรับ α บวกที่เหมาะสม ทำให้ฟังก์ชันที่ผ่าน damping ลดลงที่ปลายทั้งสองด้านภายใต้เงื่อนไข moment ที่จำเป็น

พารามิเตอร์ damping เป็นกลไกเชิงวิเคราะห์ ไม่ใช่ความต้องการของตลาดหรือพารามิเตอร์เพิ่มเติมของ model ที่ต้อง calibrate

ภายใต้ convention ทั่วไป Fourier transform ของ e^{αk}C(k) ใช้ characteristic function ของราคา log ที่ u−i(α+1)

ตัวส่วนจาก payoff ของคอลที่แปลงแล้วมี α และความถี่ u อยู่ด้วย เครื่องหมายจะเปลี่ยนหากเปลี่ยน Fourier convention หรือคำจำกัดความของราคา log

การเลื่อนเชิงซ้อนต้องการให้ E[S_T^{α+1}] มีค่าจำกัด ดังนั้นการเลือก α ที่ใหญ่โดยพลการอาจพาออกนอก domain ของ moment ของ model

อินทิกรัลสามารถคำนวณแยกสำหรับ strike แต่ละค่า ขณะที่ FFT คำนวณช่วงของ log strike ที่เว้นระยะสม่ำเสมอได้ใน operation เดียว

เมื่อมี N จุด ระยะห่างของความถี่ η และระยะห่างของ log-strike λ มีความสัมพันธ์แบบ reciprocal ซึ่งมักเขียนเป็น λη=2π/N

ช่วง strike ที่กว้างขึ้นหมายถึงระยะห่างที่หยาบขึ้นเมื่อ N คงที่ ดังนั้น coverage และ resolution จึงเลือกให้เป็นอิสระจากกันไม่ได้

การตัดอินทิกรัลความถี่ที่เป็นอนันต์ทำให้เกิด tail error ส่วนการทำให้เป็นจุดไม่ต่อเนื่องทำให้เกิด quadrature error

การต่อแบบวนซ้ำที่แฝงอยู่ใน transform แบบไม่ต่อเนื่องทำให้เกิด aliasing และการใช้ strike ที่ไม่ตรงกับ grid เพิ่ม interpolation error

น้ำหนักแบบ Simpson อาจช่วยปรับปรุง quadrature ในบางบริบท แต่ไม่สามารถแก้ช่วงที่ไม่เพียงพอ moment ที่ไม่ valid หรือ characteristic function ที่ไม่เสถียร

Alpha ต้องมากพอที่จะทำให้ payoff มี damping แต่ต้องเล็กพอให้ characteristic function ที่เลื่อนมีอยู่และยังเสถียรเชิงตัวเลข

ตัวเลือกที่ดีขึ้นกับ maturity, model parameters, พฤติกรรมหาง และ transform convention ไม่รับประกันว่าจะมี alpha สากลเพียงค่าเดียว

ทดสอบช่วงของค่า alpha ที่ยอมรับได้ และกำหนดให้ราคาต้องสอดคล้องกันภายใน tolerance เป้าหมาย แทนการ optimize ผลลัพธ์เพียงค่าเดียว

กู้คืนราคา Black–Scholes ก่อน แล้วทดสอบ put–call parity, monotonicity ของ strike, convexity, bounds และเงื่อนไข martingale

เพิ่ม N, ช่วงการอินทิเกรต และ precision แยกกัน เพื่อระบุ convergence แทนการเปลี่ยน control ทุกตัวพร้อมกัน

เปรียบเทียบ strike ที่เลือกกับ direct quadrature และวิธีกำหนดราคาอีกวิธีหนึ่ง ความเร็วมีความสำคัญก็ต่อเมื่อเข้าใจ error budget แล้ว