อธิบาย Binomial Option Pricing Model
เรียนรู้ว่า binomial tree ใช้การทำซ้ำแบบหนึ่งขั้น ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral การคำนวณย้อนกลับ และการตรวจสอบการใช้สิทธิก่อนกำหนดเพื่อประเมินมูลค่า options อย่างไร
คำตอบโดยตรง
Binomial option model ให้สินทรัพย์อ้างอิงเคลื่อนไปยัง node ขาขึ้นหรือขาลงในแต่ละขั้น แล้วประเมิน option ย้อนกลับจาก payoff ตอนปลาย ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral เป็นน้ำหนักการตั้งราคาที่สอดคล้องกับ no-arbitrage ไม่ใช่การพยากรณ์การเคลื่อนไหวตลาดครั้งถัดไป
หนึ่งขั้นมีข้อโต้แย้งด้านราคาอยู่ครบ
เริ่มจากราคาสินทรัพย์อ้างอิง S หลังหนึ่งช่วงจะเป็น Su ในสถานะขึ้น หรือ Sd ในสถานะลง โดย u มากกว่า d
Option จ่าย Cᵤ หรือ C_d ในสถานะเหล่านั้น สามารถเลือกสถานะในสินทรัพย์อ้างอิงบวกเงินสดให้ทำซ้ำ payoff ทั้งสองได้
เพราะพอร์ตที่ทำซ้ำมี payoff เหมือนกันในแต่ละสถานะ no-arbitrage จึงให้มูลค่าปัจจุบันเท่ากับ option
Delta และเงินสดทำซ้ำทั้งสองสถานะ
อัตรา hedge คือผลต่างของ payoff หารด้วยผลต่างของราคาสินทรัพย์: delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)
หลังเลือก delta แล้ว payoff ที่เหลือในแต่ละสถานะมาจากการให้กู้หรือกู้ยืม การ discount เงินสดนั้นทำให้มูลค่าปัจจุบันสมบูรณ์
โครงสร้างนี้ทำให้เห็นเศรษฐศาสตร์ชัดเจน ราคาเกิดจากการทำซ้ำรายสถานะ ไม่ใช่การเดาว่าสาขาใดมีโอกาสเกิดจริงมากกว่า
ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral เป็นน้ำหนักราคา
มูลค่าเดียวกันเขียนได้เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของมูลค่า option ในอนาคตสองค่าโดย discount ด้วยความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral q
เมื่อ carry สอดคล้องกัน q ถูกเลือกเพื่อให้ expected underlying ที่ถ่วงน้ำหนักเติบโตตาม risk-free หรือ forward rate ไม่จำเป็นต้องตรงกับความถี่ขาขึ้นในอดีต
เพื่อให้ไม่มี arbitrage การเติบโตของสินทรัพย์ที่มี carry ต้องอยู่ระหว่าง d กับ u ทำให้ q อยู่ระหว่างศูนย์กับหนึ่ง หากไม่เป็นเช่นนั้นแสดงว่า input ของ tree ไม่สอดคล้องกัน
Tree ที่รวม node เดิมควบคุมความซับซ้อน
ทำโครงสร้างหนึ่งขั้นซ้ำหลายช่วง ใน recombining tree การเคลื่อนขึ้นแล้วลงไปถึง node เดียวกับการลงแล้วขึ้น
หลัง n ขั้นมี node ราคาปลายทาง n + 1 จุดแทนที่จะเป็น 2ⁿ จุดที่แตกต่างกัน ทำให้คำนวณได้จริง
การกำหนดแบบ Cox–Ross–Rubinstein มักตั้ง u และ d จาก volatility กับความยาวขั้น โดยใช้การเคลื่อนไหวกลับด้านที่ทำให้ tree รวม node ได้
การคำนวณย้อนกลับสร้างมูลค่าวันนี้
คำนวณ payoff ตามสัญญาที่ทุก node ปลายทางก่อน จากนั้นถอยกลับหนึ่งขั้นด้วยค่าความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral ที่ discount แล้วในแต่ละ parent
ทำต่อจนถึงราก ทุกตัวเลขระหว่างทางคือมูลค่าโมเดลแบบมีเงื่อนไขตามสถานะที่เข้าถึงได้จาก node นั้น
เงินปันผล อัตรา โครงสร้างตามอายุ และ volatility ที่เปลี่ยนต้องจัดการอย่างสอดคล้องในแต่ละขั้น ไม่ใช่ปรับครั้งเดียวตอนท้าย
การใช้สิทธิแบบ American เพิ่มการตัดสินใจที่ node
ในทุก node ที่ใช้สิทธิได้ ให้เปรียบเทียบมูลค่าการใช้สิทธิทันทีกับมูลค่าการถือต่อที่ discount แล้ว มูลค่าแบบ American คือค่าที่มากกว่า
การหาค่าสูงสุดง่าย ๆ นี้ระบุบริเวณการใช้สิทธิ และเป็นข้อได้เปรียบสำคัญเหนือ closed form ของ European Black–Scholes พื้นฐาน
ผลการใช้สิทธิยังขึ้นกับโมเดล เงินปันผลแบบไม่ต่อเนื่อง borrow การชำระราคา และจำนวนขั้นสามารถขยับขอบเขตที่ประเมินได้มาก
ขั้นที่มากขึ้นเพิ่มการประมาณ ไม่ได้เพิ่มความจริง
เมื่อขั้นละเอียดขึ้นภายใต้การกำหนดที่เหมาะสม ราคา binomial อาจ converge ไปยัง continuous-time model ที่สอดคล้อง เช่น Black–Scholes
การ converge อาจแกว่งตามตำแหน่งของ strike เทียบกับ node และ parameterization ของ tree ต่างกันอาจมี bias กับเสถียรภาพต่างกัน
ขั้นที่มากขึ้นลด discretization error ภายในโมเดล แต่ไม่แก้ volatility ที่ผิด jump ที่หายไป เงินปันผลที่ผิด หรือราคาเสนอที่ทำรายการไม่ได้
ตรวจสอบ lattice ก่อนใช้งาน
ตรวจ no-arbitrage bounds, put-call parity สำหรับ claim แบบ European, monotonicity, convexity และการ converge เมื่อเพิ่มจำนวนขั้น
เทียบค่า European กับ closed form และค่า American กับวิธีอิสระ ทดสอบเวลาเป็นศูนย์ spot สุดขั้ว และวันที่จ่ายปันผล
บันทึก convention ของ tree, carry, ปฏิทิน ตารางการใช้สิทธิ และจำนวนขั้น ราคาที่รายงานโดยไม่มีค่าเหล่านี้ทำซ้ำไม่ได้
คำถามที่พบบ่อย
Binomial tree ในการตั้งราคา option คืออะไร?
คือโมเดลไม่ต่อเนื่องที่สินทรัพย์อ้างอิงเคลื่อนขึ้นหรือลงในแต่ละขั้น และคำนวณมูลค่า option ย้อนกลับจาก payoff ปลายทาง
ความน่าจะเป็นแบบ risk-neutral คือโอกาสที่หุ้นจะขึ้นหรือไม่?
ไม่ใช่การพยากรณ์ แต่เป็นน้ำหนักราคาที่ทำให้สินทรัพย์ที่มี carry สอดคล้องกับ no-arbitrage ภายใน tree
เหตุใด binomial tree จึงรวม node เดิม?
พารามิเตอร์ถูกเลือกให้เส้นทางขึ้น-ลงไปถึงราคาเดียวกับเส้นทางลง-ขึ้น จึงลดจำนวน node ที่แตกต่างกัน
Binomial tree ตั้งราคา American options ได้หรือไม่?
ได้ ในแต่ละวันใช้สิทธิจะเปรียบเทียบ intrinsic value กับ continuation value แล้วเก็บค่าที่มากกว่า