Dwuskalowa realized volatility: szacowanie wariancji przy szumie mikrostrukturalnym

Wariancję zrealizowaną często oblicza się, sumując kwadraty zwrotów. Gdyby obserwowane ceny logarytmiczne dokładnie odzwierciedlały cenę efektywną, większa liczba obserwacji pozwalałaby dokładniej uchwycić jej przebieg. Rzeczywiste ceny transakcyjne i kwotowania odzwierciedlają też odbijanie się między bid i ask, dyskretyzację cen, opóźnienia oraz inne efekty mikrostruktury rynku. Przy bardzo krótkich interwałach ich wpływ może przewyższać zmianę ceny efektywnej między obserwacjami.

Dlatego naiwna wariancja zrealizowana może rosnąć wraz z częstotliwością obserwacji, nawet gdy bazowa wariancja zintegrowana w trakcie sesji się nie zmieniła. Nie dowodzi to, że ekonomiczna zmienność aktywa musiała wzrosnąć. Przyczyną może być wielokrotne podnoszenie do kwadratu i sumowanie różnic cen zawierających szum. Przewodnik po obliczaniu realized volatility wyjaśnia zwykłą sumę kwadratów zwrotów; ten artykuł dotyczy korekty jednego konkretnego źródła obciążenia przy wysokiej częstotliwości.

TSRV, wprowadzona przez Zhang, Myklanda i Aït-Sahalię w oryginalnym badaniu dwóch skal czasowych, wykorzystuje dwie rozdzielczości do różnych celów. Rzadka siatka ogranicza liczbę przyrostów zanieczyszczonych szumem. Uśrednianie rzadkich siatek z przesuniętymi początkami zapobiega uzależnieniu wyniku od jednego arbitralnego punktu startowego. Pełna, drobna siatka dostarcza przeskalowaną estymację szumu do odjęcia. Rozumowanie zależy od założeń i wyborów dla skończonej próby, dlatego wynik jest estymatorem z niepewnością, a nie pozbawioną szumu obserwacją prawdziwej ścieżki cen.

Niech \(X_t\) oznacza ukrytą efektywną cenę logarytmiczną, modelowaną w analizowanym oknie jako proces ciągły o lokalnym tempie wariancji \(\sigma_t^2\). Celem jest jej wariancja zintegrowana:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Załóżmy, że zarejestrowana cena logarytmiczna w chwili obserwacji \(t_i\) ma postać

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

gdzie \(\epsilon_{t_i}\) to szum obserwacji. Klasyczne wyprowadzenie przyjmuje bazowy model, w którym szum ma średnią zero, jest niezależny między chwilami obserwacji i od procesu ceny efektywnej oraz ma stałą wariancję \(\omega^2\). Zakłada też regularną siatkę próbkowania i odpowiedni ciągły model ceny efektywnej w danym oknie. Są to warunki modelowe, a nie uniwersalny opis danych giełdowych.

Zaobserwowany przyrost wynosi \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Błąd ceny z jednej obserwacji trafia do dwóch sąsiednich zwrotów ze znakiem przeciwnym: dodatni błąd wyceny podwyższa jeden zwrot, a obniża następny. Dlatego zwroty utworzone z zaszumionych cen nie zachowują się jak niezależne błędy pomiaru. Przewodnik po wariacji kwadratowej w finansach wyjaśnia, dlaczego przy braku szumu suma kwadratów przyrostów mierzy zmienność ścieżki.

Tutaj celem jest wariancja w określonym oknie czasowym. Nie jest to estymacja spreadu bid–ask, prognoza ani zrealizowany koszt wykonania transakcji. Inne pytanie dotyczące cen transakcyjnych omawia estymator spreadu bid–ask Rolla. Warto jasno określić cel, ponieważ różne metody mikrostrukturalne korzystają z cen wysokiej częstotliwości, ale szacują inne wielkości.

Dla \(n\) zwrotów z drobnej siatki zdefiniujmy

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

W modelu bazowym składnikiem szumu w pojedynczym zaobserwowanym zwrocie jest \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), a jego wariancja wynosi \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Pomijając wyrazy mieszane o zerowej wartości oczekiwanej przy założeniu niezależności, wartość oczekiwana sumy z drobnej siatki jest w przybliżeniu równa

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Pierwszy składnik to docelowa wariancja zintegrowana. Drugi sumuje wkład szumu dla każdego drobnego zwrotu. Gdy odstęp próbkowania maleje, a \(n\) rośnie, składnik szumu może zdominować wynik. Dlatego zasada „próbkuj jak najczęściej” nie jest bezpieczna, jeśli pomija się szum pomiaru. Aït-Sahalia, Mykland i Zhang analizują skończony optymalny poziom częstotliwości w badaniu próbkowania przy szumie mikrostrukturalnym.

To przybliżenie dotyczy wartości oczekiwanej w ramach modelu. Konkretna próba zawiera też losowe wyrazy mieszane między przyrostami ceny efektywnej i szumu, więc jej wynik nie musi być równy wartości oczekiwanej. Jeśli wariancja szumu zmienia się w ciągu dnia, błędy są zależne w czasie albo próbkowanie jest nieregularne, proste \(2n\omega^2\) może nie opisywać obciążenia. Znany wzór może wtedy dać pozornie precyzyjną liczbę, która koryguje niewłaściwy składnik.

Wybierz liczbę całkowitą \(K>1\). Dla każdego przesunięcia \(k=0,\ldots,K-1\) oblicz wariancję zrealizowaną z rzadkiej siatki, pobierając co \(K\)-tą zaobserwowaną cenę:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Każdy rzadki przyrost obejmuje dłuższy odstęp, ale siatka nadal pokrywa w przybliżeniu to samo okno obserwacji. Uśrednij dostępne przesunięcia:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Przesunięcia mają znaczenie. Pojedyncza rzadka siatka może zaczynać się tuż przed dużym ruchem albo tuż po nim, przez co wynik będzie wrażliwy na ten wybór. Uśrednianie przesuniętych siatek ogranicza zależność od początku, ale nie tworzy \(K\) niezależnych zbiorów danych: siatki ponownie wykorzystują obserwacje i są statystycznie zależne.

Przy niezależnym szumie obserwacji o jednakowej wariancji składniki szumu na końcach rzadkiego zwrotu pochodzą z różnych obserwacji, więc wariancja ich różnicy nadal wynosi \(2\omega^2\). Rzadkich zwrotów jest mniej niż drobnych, dlatego średnia estymacja z rzadkich siatek gromadzi mniejsze obciążenie szumem. Składnik sygnału pozostaje w przybliżeniu równy tej samej wariancji zintegrowanej, ponieważ rzadkie przyrosty obejmują całe okno, a nie tylko jego część.

Ilustracja do tego przewodnika ma charakter koncepcyjny: zestawia poszarpaną obserwowaną ścieżkę z rzadszymi, przesuniętymi siatkami wokół gładszej ścieżki ukrytej. Nie pokazuje danych rynkowych ani wyniku rzeczywistego estymatora.

<!-- learn:illustration -->

Estymatory oparte na maksimum i minimum, a nie na tej konstrukcji dwóch siatek, opisuje przewodnik po estymatorach zmienności opartych na zakresie OHLC.

Niech \(\bar n\) oznacza średnią liczbę rzadkich zwrotów w siatkach z różnymi przesunięciami, a \(\lambda=\bar n/n\). W modelu bazowym średnie obciążenie szumem rzadkiej siatki wynosi około \(2\bar n\omega^2\). Dla drobnej siatki obciążenie to około \(2n\omega^2\), więc \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) wnosi około \(2\bar n\omega^2\). Odjęcie tych wartości znosi główny składnik szumu:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Ta surowa różnica odejmuje także część \(\lambda\) sygnału wariancji zintegrowanej, obecnego w obu składnikach. Dlatego często stosuje się normalizację dla skończonej próby:

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

Mianownik przywraca współczynnik sygnału w prostym rachunku wartości oczekiwanej. Konwencje implementacji i obsługa krańców siatki są różne, dlatego należy udokumentować dokładną definicję \(n\), zestaw przesunięć i sposób liczenia \(\bar n\). Korekta nie usuwa niepewności próbkowania ani nie naprawia błędnego modelu szumu. W klasycznej konfiguracji asymptotycznej \(\lambda\) maleje wraz ze wzrostem próby, ale przy krótkim oknie współczynnik dla skończonej próby nadal może mieć znaczenie.

Estymata może być ujemna, gdy \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Nie oznacza to ujemnej zmienności fizycznej; odjęcie szumu dla skończonej próby przekroczyło estymatę rzadkiej siatki. Zastąpienie wyniku zerem może ułatwić prezentację, lecz zmienia estymator i dodaje regułę obcięcia. Zachowaj i raportuj surową wartość podczas analizy, sprawdź wybrane skale i założenia, a każde późniejsze obcięcie jawnie opisz.

Załóżmy, że siedem hipotetycznych obserwacji ceny logarytmicznej tworzy sześć drobnych zwrotów w punktach bazowych: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. To mały ciąg służący wyłącznie pokazaniu rachunku, a nie dane giełdowe. Wariancja zrealizowana drobnej siatki wynosi

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Przyjmijmy \(K=2\). Pierwsze przesunięcie łączy sąsiednie drobne zwroty w rzadkie zwroty \([2,-2,2]\) bp o sumie kwadratów \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). Przesunięta siatka daje \([0,0]\) bp i sumę równą 0. Średnia dwóch estymat siatek to \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Jest sześć drobnych zwrotów, a dwa przesunięcia zawierają odpowiednio trzy i dwa rzadkie zwroty. Zatem \(\bar n=(3+2)/2=2.5\), \(\lambda=2.5/6=5/12\), więc

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

W jednostkach kwadratu zwrotu dziesiętnego estymata wynosi \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\). Pierwiastek to około \(2.45\) bp w tym hipotetycznym oknie; wynik nie jest annualizowany. Równość liczbowa z wariancją zrealizowaną drobnej siatki wynika z konstrukcji tego małego ciągu, a nie z tożsamości TSRV. Inne ścieżki cen mogą dać wynik wyższy, niższy, a nawet ujemny.

Rachunek pokazuje też ograniczenie modelu: prawdziwa ukryta ścieżka i szum nie są obserwowane oddzielnie, więc ta próba sama nie potwierdza, że \(6\,\mathrm{bp}^2\) równa się rzeczywistej wariancji zintegrowanej. Można skontrolować sumy, skalę i jednostki, ale przykład nie ujawnia ukrytego rozkładu. Literatura empiryczna omawia też realized kernels, inną rodzinę korekt szumu wysokiej częstotliwości z własnymi założeniami i wyborami implementacyjnymi.

Skala \(K\) wyznacza kompromis między liczbą rzadkich zwrotów a uśrednianiem i korektą szumu. Przy zbyt małym \(K\) pozostaje wiele krótkich przyrostów, więc wrażliwość na szum może być nadal duża. Przy zbyt dużym \(K\) zostaje niewiele grubych zwrotów, co destabilizuje estymatę rzadkiej siatki i zwiększa wpływ skończonej długości okna. Uśrednianie przesunięć łagodzi problem wyrównania siatek, ale nie dostarcza informacji, których brakuje w krótkiej lub słabej jakości próbie.

W oryginalnej analizie asymptotycznej preferowany odstęp rzadkiej siatki rośnie wraz z rozmiarem próby; przy notacji i założeniach bazowych artykułu jest rzędu \(n^{2/3}\). To teoretyczny wynik skalowania, a nie uniwersalna instrukcja, by użyć konkretnej liczby sekund lub obserwacji. Optimum zależy od stosunku szumu do sygnału i od założeń; późniejsze prace oraz implementacje praktyczne mogą używać innych reguł doboru i konwencji dotyczących krańców. Aby umożliwić odtworzenie wyniku, raportuj odstęp próbkowania, \(K\), przesunięcia, granice sesji i normalizację dla skończonej próby.

Rzetelna analiza może porównać wcześniej ustalony zestaw wiarygodnych wartości \(K\) i pokazać wrażliwość, zamiast po obejrzeniu wyników wybierać ustawienie dające najatrakcyjniejszą wartość. Jeśli estymaty mocno się zmieniają, ta niestabilność jest częścią wyniku. Skalę należy dobrać na podstawie projektu danych i udokumentowanej reguły, nie po wyszukaniu pożądanej estymaty zmienności. Porównanie może obejmować rzadszą wariancję zrealizowaną lub odporną na szum alternatywę, ale miary trzeba osobno oznaczyć.

Klasyczną korektę wyprowadzono dla określonej struktury szumu. Bid–ask bounce i inne efekty mikrostruktury mogą być zależne szeregowo, zmieniać się w trakcie sesji, zależeć od płynności lub korelować z przyrostami ceny efektywnej. Hansen i Lunde w badaniu wariancji zrealizowanej i szumu mikrostrukturalnego dokumentują interakcje obejmujące zależność w czasie i korelację ze zmianami ceny efektywnej. Aït-Sahalia, Mykland i Zhang opracowali później metody dwuskalowe dla zależnego szumu mikrostrukturalnego. To powód, by odróżniać zmodyfikowany estymator od pierwotnego wzoru z szumem iid, a nie zakładać, że pierwotna formuła radzi sobie z każdym wzorcem zależności.

Inne problemy praktyczne to nieregularne czasy obserwacji, asynchroniczne aktywa, nieaktualne kwotowania, dyskretyzacja cen, skoki, błędne transakcje, efekty otwarcia i zamknięcia oraz brakujące obserwacje. Mogą one wpływać zarówno na korektę z drobnej siatki, jak i na zwroty trafiające do rzadkich siatek. To, czy skoki należą do docelowej wariacji kwadratowej, czy trzeba je oddzielić, zależy od pytania badawczego; sama TSRV nie rozstrzyga tego wyboru modelowego. Filtrowanie obserwacji również zmienia siatkę i wymaga udokumentowania.

Odporność na szum nie oznacza niewrażliwości na wszystkie problemy z danymi. Zanim potraktujesz estymatę jako miarę wariancji ukrytej, określ, czy dane wejściowe to ceny transakcyjne, kwotowania czy ceny środkowe; podaj transformację zwrotów i podstawę czasu; sprawdź, czy odstępy obserwacji są równe; opisz reguły czyszczenia i sesji; oraz oceń wrażliwość na \(K\). Jeśli proces szumu narusza założenia bazowe, użyj metody przeznaczonej dla takich warunków i opisz jej założenia. Nie nazywaj ujemnej estymaty ujemną zmiennością ani po cichu nie zamieniaj jej na dodatnią liczbę.

Przejrzysty raport określa okno docelowe, wejściowy szereg cen, odstęp próbkowania, liczbę drobnych zwrotów, rzadki odstęp \(K\), zestaw przesunięć, regułę krańcową, założenia o szumie, normalizację, jednostki i ewentualne obcięcie. Można pokazać zarówno surową różnicę, jak i znormalizowaną estymatę oraz zakres wrażliwości dla wcześniej ustalonych skal. Szczegóły te umożliwiają audyt obliczenia i zapobiegają myleniu estymaty wariancji z kwotowaniem, prognozą na przyszłość lub dowodem na zyskowną regułę handlową.

Wariancja zintegrowana jest mierzona w obserwowanym oknie. Annualizacja wymaga jawnej konwencji czasowej i nie powinna ukrywać wzorców śróddziennych, przerw nocnych ani luk w handlu. Pierwiastek zmienia jednostkę na zmienność w tym oknie, ale nie tworzy horyzontu prognozy. Historyczna miara zrealizowana może być jednym z wejść modelu, jednak skuteczność predykcyjną trzeba oceniać osobno na danych niewykorzystanych do doboru ustawień estymatora.

Główny wkład TSRV ma charakter metodologiczny: w jawnym modelu szumu addytywnego używa dwóch skal próbkowania, by ograniczyć wiodące obciążenie szumem, które sprawia, że naiwna wariancja zrealizowana wysokiej częstotliwości jest niezgodna. Metoda nie identyfikuje przyczyny każdej zmiany ceny, nie usuwa ryzyka modelu i nie mówi, jaka będzie następna zmienność. Te ograniczenia powinny towarzyszyć raportowanej wartości.