Qu§0¤dr§1¤tic V§2¤ri§3¤ti§9¤ §6¤ F§7¤§4¤nce Expl§5¤§8¤ed

Dla podziału π odcinka [0,t] utwórz Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² i zagęszczaj siatkę, aż jej oczko będzie dążyć do zera

Gdy sumy te zbiegają w odpowiednim sensie probabilistycznym, ich granicą jest wariacja kwadratowa [X]_t

Jest to pojęcie akumulacji wzdłuż ścieżki, a nie ten sam obiekt co statystyczna wariancja X_t dla wielokrotnie powtarzanych wyników

Ciągła ścieżka o skończonej całkowitej wariacji ma zerową wariację kwadratową, ponieważ jej małe kwadraty przyrostów zanikają szybciej niż ich suma wartości bezwzględnych

Dlatego zwykłe różniczkowalne krzywe cenowe nie generują poprawki drugiego rzędu w klasycznych regułach łańcuchowych

Wariacja kwadratowa wyodrębnia szorstkość, która pozostaje widoczna, gdy ruchy pierwszego rzędu stają się pojedynczo bardzo małe

Standardowy ruch Browna ma nieskończoną całkowitą wariację na każdym nietrywialnym przedziale, ale spełnia [W]_t = t

Heurystycznie około 1/Δt przyrostów ma kwadrat o rozmiarze bliskim Δt, więc ich suma pozostaje rzędu jedności

Jest to stwierdzenie o granicy, a nie punktowe twierdzenie algebraiczne, że dW/dt istnieje lub że każdy kwadrat przyrostu jest równy dt

Kowariacja kwadratowa [X,Y] sumuje iloczyny ΔX·ΔY po drobnych podziałach

Polaryzacja daje [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), łącząc wspólną wariację z poszczególnymi wariacjami kwadratowymi

Dla skorelowanych czynników Browna kowariacja przenosi chwilową zależność do wzorów Itô dla portfeli i modeli wielowymiarowych

Dla dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t ciągła wariacja kwadratowa wynosi [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds

Rozwinięcie Taylora zachowuje 1/2 f''(X_t)d[X]_t, ponieważ kwadraty przyrostów stochastycznych akumulują się zamiast zanikać

Ta poprawka napędza równania wyceny dyfuzji i odróżnia rachunek stochastyczny od zwykłego rachunku różniczkowego

Dla semimartyngału ze skokami wariacja kwadratowa obejmuje ciągłą wariację martyngałową oraz Σ_{s≤t}(ΔX_s)²

Duży skok może więc zdominować zrealizowany dzienny ruch kwadratowy, nawet gdy ciągła zmienność była umiarkowana

Rozdzielaj wariację ciągłą, skoki i dryf o skończonej wariacji, gdy pytanie ekonomiczne zależy od ich odmiennych źródeł

Wysokoczęstotliwościowa zrealizowana wariancja sumuje kwadraty obserwowanych śróddziennych stóp zwrotu, aby przybliżyć ukrytą wariację kwadratową

Zbyt rzadka próbkowanie pomija ruchy, a zbyt częste wzmacnia odbicia bid–ask, dyskretność cen, asynchroniczne kwotowania i błędne ticki

Porównuj siatki próbkowania, jawnie oczyszczaj skoki, wyrównuj godziny handlu i rozróżniaj definicję stopy zwrotu przed interpretacją estymaty jako zmienności